Сокращеніе дробей и приведеніе къ одному знаменателю.

Сокращеніе дробей и приведеніе къ одному знаменателю.

Ум?нье сокращать дроби восходитъ довольно далеко и зам?чается у математиковъ, жившихъ еще до Р. X. Самымъ простымъ способомъ былъ тотъ, который практикуется и у насъ, т. е. д?леніе числителя и знаменателя на одно какое - нибудь небольшое число, въ род? 2, 3, 5 и т. д. Эвклидъ (за 300 л до Р. X.) въ совершенств? знаетъ способъ посл?довательнаго д?ленія, т.е. когда большее число д?лится на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй и т. п. до т?хъ поръ, пока не будетъ найденъ общій д?литель. Этотъ способъ разработанъ былъ Эвклидомъ въ геометріи и имъ же предлагается для сокращенія дробей. Въ труд? ученаго Боэція (въ VI ст. по Р. X.) рекомендуется посл?довательное вычитаніе, какъ средство для сокращенія дробей; при этомъ, схоже съ Эвклидомъ, меньшее число отнимается отъ большаго столько разъ, сколько можно, первый остатокъ отнимается отъ меньшаго числа, второй остатокъ отъ перваго и т. д. до т?хъ поръ, пока, подобно Эвклиду, не будетъ найдено общаго д?лителя, на котораго зат?мъ и остается разд?лить числителя и знаменателя. Кром? того, въ средніе в?ка составлялись довольно длинныя таблицы для сокращенія дробей; въ нихъ выписывалось подробно, на какихъ именно производителей можетъ разлагаться каждое изъ составныхъ чиселъ. Былъ и еще пріемъ довольно своеобразный. Требуется, положимъ, сократить ¹⁴/₂₁. Для этого помножаемъ числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержалъ въ себ? прежняго знаменателя; въ нашемъ прим?р? достаточно помножить 14 на 3, получится 42, д?лимъ это число на 21; будетъ 2, а весь отв?тъ составить ?. Этотъ способъ можетъ и теперь иногда пригодиться, напр., въ устномъ счет?.

Въ старинныхъ русскихъ ари?метикахъ сокращеніе называлось такъ: «уменьшеніе долямъ». Это выраженіе неправильно, потому что величина дроби при сокращеніи не изм?няется и, сл?д., не уменьшается, а уменьшается только числитель и знаменатель; такимъ образ., зд?сь сама дробь см?шивается съ ея членами, а это вовсе не одно и то же. Подобный неправильнйй терминъ встр?чается еще и сейчасъ въ н?мецкой литератур?: verkleinern — уменьшеніе, вм?сто слова сокращеніе.

Приведеніе дробей къ одному знаменателю встр?чалосъ еще у древнихъ египтянъ, хотя они предпочитали обходиться безъ него. Общимъ знаменателемъ у нихъ не всегда было наименьшее кратное число; напр., чтобы привести къ одному знаменателю дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀, они не брали обязательно числа 60 и не зам?няли данныхъ дробей чрезъ 52/60 и 21/60; они пользовались знаменателемъ и 120 и 300 и т. п., и выражали предыдущія дроби чрезъ ¹⁰⁴/₁₂₀ и ⁴²/₁₂₀, ²⁶⁰/₃₀₀ и ¹⁰⁵/₃₀₀. Мало того, знаменателемъ выбиралось иногда такое число, которое вовсе не д?лилось на данныхъ знаменателей. Попытаемся, напр., привести дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀ къ общему знаменателю 30, тогда получится ²⁶/₃₀ и 10? тридцатыхъ, такъ какъ тридцатыя доли въ полтора раза мельче двадцатыхъ. Такимъ образомъ, мы видимъ, что древніе египтяне не ст?снялись формой числителя и допускали дробныхъ числителей. Это указываетъ на значительное пониманіе ими свойствъ дробей: они, сл?д., вникали въ ихъ смыслъ, ум?ли обращаться съ ними свободно и ув?ренно и прим?няли ихъ, смотря по удобству, къ различнымъ особенностямъ задачъ. Среднев?ковая ари?метика уступаетъ въ этомъ отношеніи древней. Въ ней гораздо больше механизма, заученныхъ правилъ, строго очерченныхъ пріемовъ, и поэтому гораздо меньше свободнаго соображенія. Это обусловливается общимъ отпечаткомъ среднев?ковой науки, какъ исключительно ремесленной, сухой, не позволяющей вникать въ суть и верт?вшейся на формахъ. Въ XVI в. по Р. X. учебники относительно этого говорили кратко и внушительно: «перемножъ крестъ-накрестъ, зат?мъ перемножь знаменателей!» Косой крестъ считался даже знакомъ приведенія дробей къ одному знаменателю, потому что онъ лучше всего указывалъ порядокъ вычисленія: достаточно числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, а числителя второй дроби на знаменателя первой, — это будутъ числители, общимъ же знаменателемъ будетъ произведеніе данныхъ знаменателей. Похоже на это, и знакомъ д?ленія дробей служилъ въ то время косой крестъ, потому что и при д?леніи надо множить крестъ на крестъ, т.-е. числителя одной дроби на знаменателя другой.

Механическое правило, по которому дроби приводятся къ одному знаменателю, касалоеь не только двухъ дробей, но и н?сколькихъ. Дано, напр., выразить въ одинаковыхъ доляхъ ⁴/₁₅, ⁷/₂₀, ⁹/₂₅. Тогда составляли сперва произведеніе 15 на 20 и приводили первыя дв? дроби въ такой видъ: ⁸⁰/₃₀₀, ¹⁰⁵/₃₀₀. Потомъ составляли произведеніе 300 на 25 и получали общимъ знаменателемъ число 7500, такъ что 3 данныхъ дроби превращались уже въ ²⁰⁰⁰/₇₅₀₀, ²⁶²⁵/₇₅₀₀, ²⁷⁰⁰/₇₅₀₀. Знаменатель, какъ видимъ, возросъ до значительной величины, и все оттого, что математики не научились пользоваться наименьшимъ кратнымъ данныхъ знаменателей. У Магницкаго дроби ?, ?, ⁵/₆, ⁴/₅ приведены къ знаменателю 360, вм?сто того, чтобы имъ им?ть общаго знаменателя 60; у него получаются такіе отв?ты: ²⁴⁰/₃₆₀, ²⁷⁰/₃₆₀, ³⁰⁰/₃₆₀, ²⁶⁸/₃₆₀ посл? ряда длинныхъ вычисленій, занимающихъ ц?лую страницу книги. Даже въ ари?метик? Степана Румовскаго (С.-Петерб., 1760 г.) дроби ? и ²/₉ приводятся къ обще-му знаменателю 27, а не 9, какъ это сд?лали бы мы. Изъ всего этого видно, что правило, по которому общ. знаменателемъ должно служить наименьшее кратное, является сравнительно новымъ правиломъ и зам?нялось прежде т?мъ порядкомъ, что общій знаменатель составлялся прямо перемноженіемъ данныхъ знаменателей.