Виды чиселъ
Виды чиселъ
Какую ц?ль пресл?дуетъ ари?метика въ нашихъ школахъ? Очевидно, она желаетъ научить д?йствіямъ и р?шенію практическихъ задачъ. Но не всегда эта ц?ль такой и была, потому что въ различные в?ка и при разныхъ научныхъ системахъ она то суживалась, то расширялась, то уклонялась въ сторону. Она суживалась до вычисленія одной только пасхаліи въ среднев?ковыхъ христіанскихъ школахъ; она расширядась до изученія алгебры у индусовъ и арабовъ, до извлеченія корней въ недавнее время и до пропорцій въ наши дни; и корни, и пропорціи такъ же чужды настоящей ари?метик? и ея ц?лямъ, какъ «разд?леніе в?тровъ во оризонт?» и «изображеніе кумпаса», пріютившіяся въ ари?метик? Магницкаго. Но самымъ уродливымъ уклоненіемъ нашей науки съ ея истиннаго пути было то, когда вм?сто вычисленій и д?йствій ученые занимались классификаціей чиселъ и открытіемъ ихъ таинственныхъ свойствъ. А стремленіе къ такимъ занятіямъ не разъ прорывалось наружу, особенно у людей, настроенныхъ мистически. Среди нихъ первое м?сто занимаетъ греческій философъ Пи?агоръ и его посл?дователи. Онъ жилъ за 500 л?тъ до Р. X. въ знаменательное время, когда приблизительно жили и д?йствовали основатели новыхъ религій, Зороастръ въ Персіи и Конфуцій въ Кита?. То было мистически настроенное время, и Пи?агоръ оказался усерднымъ его д?тищемъ, такъ какъ вникалъ въ числа и искалъ въ нихъ ихъ внутренняго смысла. Онъ искалъ священныхъ чиселъ и выше всего ставилъ число 36, какъ символъ «всей вселенной», на томъ основаніи, что число 36 равно сумм? первыхъ четырехъ четныхъ и первыхъ четырехъ нечетныхъ чиселъ: 36 = 1+3+5+7+2+4+6+8; числомъ 36 пользовались ученики Пи?агора, какъ торжественной формулой клятвы. Число 9 было у нихъ символомъ постоянства, такъ какъ вс? кратныя 9-ти им?ютъ суммой цифръ все-таки 9, именно: у дважды девяти, т.-е. у 18, сумма цифръ 1+8=9, у трижды девяти, т.-е. у 27-ми, 2+7=9, у 36-ти 3+6=9 и т. д. Число восемь было символомъ смерти, потолу что кратныя 8-ми, т.-е. 16, 24, 32, 40 им?ютъ все меньшую и меньшую сумму цифръ: 7, 6, 5, 4. Единица, по Пи?агору, обозначала духъ, изъ котораго проистекаетъ весь видимый міръ. Изъ единицы происходитъ двойка, символъ матеріальнаго атома. Принимая въ себя опять единицу, двойка, или матеріальный атомъ, становится тройкой или подвижной частицей. Это символъ живого міра. Живой міръ плюсъ единица, сл?д., четверка, образуетъ ц?лое, т.-е. видимое и невидимое. Такъ какъ 10=1+2+3+4, то оно выражаетъ собою «Все». Пи?агорейцы провозглашали число началомъ и основаніемъ вс?хъ вещей, такъ какъ, по ихъ словамъ, природа числа не допускаетъ никакого обмана, она законом?рна и неизм?нна, она проникаетъ въ неизв?стное.
Такими-то хитросплетенными умствованіями занимались пи?агореіцы; они не были въ этомъ случа? одинокими, потому что изв?стно не мало и другихъ любителей таинственной, символической ари?метики. Прежде всего назовемъ египтянъ, у которыхъ богъ Озирисъ представлялся числомъ 4, богиня Изида числомъ 3, а «Время» числомъ 5, и все это чертилось въ вид? прямоугольнаго треугольника со сторонами 3, 4, 5, въ которомъ квадратъ гипотенузы, 5·5=25, равенъ сумм? квадратовъ катетовъ: 3·3+4·4. Бредни халдеевъ относительно чиселъ доставили имъ славу волшебниковъ; каждый халдейскій богъ, отъ 1-го и до 60-го, им?лъ свое особое число, ему посвященное; даже и духи не были обижены, потому что и имъ были посвящены числа, но только похуже—дробныя. Мистическое ученіе евреевъ, такъ наз., каббала (отсюда «каббалистическіе», т.-е. таинственные, знаки) возникло за 2 в?ка до Р. X. и развивалось вплоть до XIII стол?тія и дал?е. Первыя десять чиселъ считались у нихъ: «путями премудрости».
Христіанская среднев?ковая Европа тоже не лишена была стремленій къ таинственному символическому толкованію чиселъ. Епископъ майнцкій Рабанъ Мавръ въ IX в. р?шалъ вопросъ, почему Моисей и Илія постились ровно 40 дней?
«А потому, — отв?чаетъ Рабанъ, — что 40 состоитъ изъ 4 десятковъ и этимъ знаменуетъ временную жизнь, ибо 4 выражаетъ время, а въ 10-ти можно распознать Бога и Его творенія».
Алькуинъ, другъ императора Карла Великаго, заинтересовался численной задачей: почему Св. Апостолъ Петръ поймалъ 153 рыбы? не больше и не меньше, а ровно 153? Алькуину казалось, что онъ нашелъ р?шеніе: 153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17, т.-е. число 153 равно сумм? первыхъ 17-ти чиселъ. Но почему же именно 17-ти? На это Алькуинъ ничего не отв?чаетъ.
Сколько труда и энергіи тратилось обыкновенно на эти изысканія и на эти изсл?дованія глубины числовыхъ отношеній! Правда, можно согласиться, что эти труды не пропали безъ всякой пользы и сод?йствовали теоріи ари?метики и такъ называемой теоріи чиселъ, они заставили вникнуть въ разложеніе чиселъ на множителей и на слагаемыя и привели къ числовымъ рядамъ, которые теперь у насъ зовутся прогрессіями. Такъ древне происхожденіе прогрессій! У насъ он? отодвинуты на конецъ алгебры, а у древнихъ математиковъ имъ отводилось почетное м?сто въ элементарной ари?метик?.
Д?леніе чиселъ на четныя и нечетныя изв?стно было еще въ древнемъ Египт?; оно же было вполн? изв?стно и Пи?агору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кром? того, пи?агорейцы разд?лили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ д?лителей, а составными т?, которыя можно представить въ вид? произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотр?ли и на ари?метику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; д?йствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случа? на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрм?ръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.
Еще пи?агорейцы выд?лили треугольныя числа и квадратныя: треугольное число то, которое представляетъ собою половину произведенія 2 сос?днихъ чиселъ, напр., 6 будетъ треугольнымъ числомъ, потому что его можно образовать умноженіемъ 3 на 4 и д?леніемъ на 2; вотъ прим?ры треугольныхъ чиселъ: 10=4·5/2, 15=5·6/2, 21=6·7/2, 28=7·8/2, 36=8·9/2 и т. д.
Ясно, почему они заслужили такое названіе: они могутъ выражать собой площадь треугольника. Что значитъ квадратное число, легко догадаться: то число, которое составлено изъ 2-хъ равныхъ множителей; квадратныя числа сл?дующія: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.
Кром? того, у грековъ были «совершенныя числа». Подъ этимъ именемъ разум?лись такія, которыя равны сумм? вс?хъ своихъ д?лителей, считая единицу; самый легкій прим?ръ совершеннаго числа —28, потому что 28=1+2+4+7+14; другимъ прим?ромъ можетъ служить число 496; если сложить вс?хъ его множителей, считая и единицу, то въ сумм? получимъ опять 496; множители сл?дующіе: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.
Отъ совершенныхъ чиселъ греки перешли къ такъ наз. содружественнымъ. Два числа называются содружественными тогда, когда каждое изъ нихъ равно сумм? д?лителей другого; лучшимъ прим?ромъ такихъ чиселъ могутъ служить 220 и 284, у перваго изъ нихъ д?лители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 даютъ вм?ст? 284, а у второго д?лители 1, 2, 4, 71, 142 даютъ въ сумм? число 220. Въ теоріи содружественныхъ чиселъ не обошлось безъ курьеза, опять проявилась та же наклонность къ таинственному и волшебному. Н?кій Мадштрити, умершій въ Мадрид? въ 1007 году по Р. X., въ своемъ сочиненіи «О ц?ляхъ существующаго» пытается ув?рить, что содружественныя числа могутъ сыграть роль талисмана или приворотнаго зелья; а способъ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажкахъ, на одной число 220, на другой—284, сжечь ихъ и пепелъ выпить съ водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно къ себ? расположить. Другой авторитетный челов?къ, н?кто Ибн-халдунъ, подтверждаетъ, что д?йствительно эти числа им?ютъ значеніе талисмановъ, и что многіе на д?л? это испытали и ув?рились; и онъ самъ, Ибн-халдунъ, на своемъ опыт? въ этомъ же ув?рился.
Все, изложенное выше, принадлежитъ, главпымъ образомъ, грекамъ, потому что вс? эти подразд?ленія и вс? формулы разрабатывались въ школ? Пи?агора и уже отъ поздн?йшихъ его учениковъ перешли къ арабамъ. Римляне не заносились такъ далеко въ своей фантазіи и предпочитали быть поближе къ практик? и наглядности; вычисляли они, какъ выше уже сказано, все больше по пальцамъ и даже ухитрялись зам?чать на пальцахъ довольно большія числа; при этомъ единицы отм?чались пальцами, а десятки до сотни—суставами пальцевъ, именно:
1—мизинецъ согнутъ, 2—четвертый и пятый пальцы согнуты, 3—третій палецъ согнутъ и т. д.;
10—верхній суставъ указательнаго пальца прижатъ къ нижнему суставу большого пальца,
20—указателышй палецъ протянутъ; большой палецъ приближается къ нижнему суставу указательнаго,
30—верхніе суставы большого и указательнаго пальца сближены
и т. д.
Подобная наклонность считать все по пальцамъ отразилась и на разд?леніи чиселъ. Простыя единицы до 10-ти назывались у римлянъ пальцевыми (digiti), круглые десятки до сотни назывались суставными (articuli), и, наконецъ, вс? остальныя числа носили названіе сложныхъ или сочиненныхъ (compositi).
Когда св?тъ христіанства распространился изъ Рима на всю Западную Европу, то вм?cт? съ этимъ разлилась волна и римской образованности. Скудна была римская ари?иетика, но, за неим?ніемъ лучшей, она царила безразд?льно во всей Европ? до XIII–XIV в?ка, со своимъ абакомъ, римскими цифрами и пальцевымъ счетомъ. Скудна и б?дна была теоретическая часть ари?метики, но она ц?нилась т?мъ выше, ч?мъ была б?дн?е. Всл?дствіе этого и разд?леніе чиселъ на пальцевыя, суставныя и сочиненныя бережно хранилось, какъ что-то священное и чрезвычайно важное, и передавалось отъ одного ученаго къ другому даже тогда, когда Европа ознакомилась съ арабской ари?метикой, и дошло почти до нашихъ дней, по крайней м?р?, проявляло признаки жизни въ XVIII в?к?, когда пропалъ и абакъ, в пальцевый счетъ. Римскія цифры оказались еще бол?е живучими, такъ что пом?щаются въ нашихъ ари?метикахъ и проходятся въ школахъ по сегодняшній день. Въ посл?дній разъ мы видимъ пальцевыя, суставныя и сочиненныя числа въ славянской ари?метик? Магницкаго (1703 г.). Въ ней говорится:
«Персты: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Сія изображенія отъ многихъ называютея персты, а толико ихъ числомъ, елико и перстовъ есть по разум?нію н?которыхъ. Составы: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200. Сія числа имянуются составы, зане цифрою 0 всегда въ десятеро составляютъ. Сочиненіе: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27. Сія числа сочиненія называются, понеже они изъ перстовъ и составовъ сочиняются».
Какъ видимъ, въ этихъ объясненіяхъ недостаетъ уб?дительности, да и прим?ры-то взяты непосл?довательно и односторонне. Впрочемъ, авторъ добавляетъ еще объясненіе, которое, пожалуй, не столько уясняетъ, сколько запутываетъ:
«Умствовати же вышеобъявленная перстовая, составная и сочиненная числа, въ сотни, въ тысящы и вящще, сочиненіе отъ правыя руки къ л?вой изчисляя впредь въ десятеро»