Тройное правило.

Тройное правило.

Н?тъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя среднев?ковыхъ ари?метикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо вс?хъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ н?мецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше вс?хъ похвалъ», оно—«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ r?gle dor?e—золотого правила. Оно противополагалось ц?лой наук?—алгебр?.

За что же воздаются такія неум?ренныя похвалы отд?лу, который въ наше время привыкъ занимать уже бол?е скромное м?сто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себ? вернутъся немного назадъ и дать краткую характеристику ц?лей, которыя пресл?довала ари?метика съ древнихъ временъ.

Всякая наука въ первоначальной стадіи своего развитія вызывается практическими потребностями и стремится, въ свою очередь, имъ удовлетворить. Зат?мъ, въ зависимости отъ условій, при которыхъ она развивается, наука иногда довольно скоро, иногда бол?е медленно принимаетъ теоретическую окраску и на изучающихъ ее д?йствуетъ образовательно, т.-е. совершенствуетъ ихъ душевыыя способности: умъ, чувство и волю: при медленномъ же рост? наука долго остается руководительницей мастерства, сообщаетъ одно только ум?нье, даетъ челов?ку механическіе навыки и придаетъ ему черты машинальности. И то и другое направленіе испытала ари?метика. Съ одной стороны греческіе ученые вид?ли въ ари?метик? бол?е всего образовательный элементъ; они постоянно ставили вопросы «почему?» и «зач?мъ?», всегда искали основанія и вывода; ученики греческихъ школъ углублялись въ суть науки, думали надъ ней, и потому изученіе д?йствовало на нихъ образовательно-развивающимъ образомъ. Съ другой стороны, индусы смотр?ли на ари?ыетику скор?е со стороны искусства, они не любили вопроса «почему?», но у нихъ основнымъ вопросомъ всегда былъ: «какъ это сд?лать?» Направленіе индусовъ перешло къ арабамъ, а оттуда въ среднев?ковую Европу. Въ ней оно встр?тило чрезвычайно радушный пріемъ, и почва для него оказалась вполн? благодарной: посл? великаго переселенія народовъ и при безпрерывно продолжающихся войнахъ нечего было и думать о развитіи точной, частой, отвлеченной науки, а въ пору было ограничиться ея прикладной частью, достаточно было только учить «какъ д?лать», а не «почему такъ д?лать». И вотъ практическая окраска осталась за ари?метикой на долгое время, почти до нашихъ дней, в вм?ст? съ т?мъ изученіе ея было узко-механическимъ: безъ выводовъ, разъясненій, безъ углубленія въ основанія; повсюду въ учебникахъ встр?чалось «такъ д?лай», «д?лать надо такъ», и ученику оставалосъ только затверживать и прим?нять къ д?лу; у нашего Магницкаго тоже встр?чается рядъ характерныхъ выраженій «зри сице», «зри изобр?тенія»; положимъ, среди этихъ выраженій у него есть «умствуй и придетъ», но какъ именно умствовать, на то дается очень мало намековъ. Сообразно практическому значенію ари?метики, въ ней особенно выд?лялось и ц?нилось все, что можетъ принести непосредственную выгоду, доставить заработокъ.

«Хто сію мудроеть знаетъ», говорится въ русской ари?метик? XVII в?ка, «можетъ быть у государя въ великой чти и въ жалованьи; по сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товар?хъ и торг?хъ силу знаютъ и во всякихъ в?с?хъ и м?рахъ и въ земномъ верстаніи и въ морскомъ теченiи з?ло искусни, и счетъ изъ всякаго числа перечню знаютъ».

Но какая же часть ари?метики можетъ бол?е дать практическихъ, непосредствеено приложимыхъ навыковъ, какъ не р?шеніе задачъ? Поэтому вс? старанія среднев?ковыхъ авторовъ направлялись къ тому, чтобы собрать какъ можно больше задачъ и при томъ самаго разнообразнаго житейскаго содержанія. Тутъ были задачи а о продаж?, и о покупк?, о векселяхъ и о процентахъ, о см?шеніи, объ обм?н?; пестрота была ужасная и разобраться во всей масс? задачъ не представлялось нікакой возможности. Чтобы хоть н?сколько сгруппировать и ввести н?которую систему и порядокъ, пытались распред?лить вс? задачи по отд?ламъ или типамъ. Это мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, а задачи распред?лялись не по способамъ ихъ р?шенія, какъ бы сл?довало, а по ихъ содержанію, т. е. по вн?шнему виду; напр., былъ особый видъ задачъ о собакахъ, догоняющихъ зайца, о деревьяхъ, о д?вицахъ и т. п.

Р?шеніе задачъ съ разд?леніемъ по ихъ содержанію не пріносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать р?шеніе. Да и понимать-то, по мн?нію старинныхъ авторовъ, едва-ли нужно было.

«Это ничего», ут?шаетъ бывало наставникъ своихъ питомцевъ: «что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многаго не будешь понимать».

Вм?сто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться прим?нять это къ д?лу, т. е. къ прим?рамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на бол?е скромномъ—на томъ, какъ прим?нить общее правило къ прим?рамъ.

И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, прим?нить это правило было сравнительно нетрудно. За вс? эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.

Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи р?шались большею частію приведеніемъ къ единиц?. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебр?. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отд?лъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гд? даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Прим?ръ: 100 rotuli (пизанскій в?съ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:

Правило предписывало р?шать эту задачу сл?дующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 д?лить на 100.

 Особенное вниманіе, стали уд?лять тройному правилу съ ХVІ-го в?ка, т. е. съ т?хъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобр?теніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не м?шало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней м?р?, съ нашей точки зр?нія. Прежде всего опред?лялось правило чисто вн?шнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опред?лится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то разд?лить на 1-е число». Такое опред?леніе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно р?шать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразум?ніе учебники не считали нужнымъ. Кром? того, р?шались задачи не только съ ц?лыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ари?метикахъ он? располагались такъ непосл?довательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило пом?щались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ари?метики дробныхъ чиселъ.

Посл? тройного правила съ ц?лыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать н?которыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отд?лъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой групп?; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ род? сл?дующаго: «Если м?ра зерна стоитъ 1? марки, то на 1 марку даютъ два пуда хл?ба; сколько пудовъ хл?ба дадутъ на марку, если м?ра зерна стоитъ 1? марки; р?шаемъ тройнымъ правиломъ, получится

но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хл?ба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ

.»

Въ подобномъ дух? трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)

«Правило возвратительное есть, егда потреба бываетъ въ заданіи третій перечень поставляти вм?сто перваго: потребно же сіе въ гражданскихъ частыхъ случаяхъ, якоже рещи на прикладъ: н?кій господинъ призвалъ плотника и вел?лъ дворъ строити, давъ ему двадцать челов?къ работниковъ: и спросилъ, въ коливо дней построитъ тои его дворъ, онъ-же отв?ща, въ тридцать дней; а господину надобно въ 5 дней построити весь, и ради того спросилъ паки плотника, коликихъ челов?къ достоитъ им?ти, дабы съ ними ты построилъ дворъ въ 5 дней, и той плотникъ недоум?яся вопрошаетъ тя ари?метиче: колико челов?къ ему достоитъ им?ти, чтобъ построить ему той дворъ въ 5 дней, и аще ты начнеши творити по чину тройного правила просто; то во-истинну погр?шиши; но подобаетъ ти не тако: 30—20—5, но сице превративъ: 5—20—30; 30 X 20=600; 600 : 5=120».

 За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотв?тствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ в?к? такъ:

имъ производятся такія вычисленія, которыхъ нельзя произвести по другому правилу; въ немъ дается 5 чиселъ, и по нимъ отыскивается шестое искомое число; напр., н?кто пустилъ въ оборотъ сто рублей, и они принесли ему прибыли 7 р., спрашивается, сколько прибыли онъ получилъ бы съ 100 р. на 5 л?тъ;

р?шается такъ: 100—1—7—1000—5, перемножь два л?выхъ числа, а также перемножь 3 правыхъ числа и посл?днее произведеніе разд?ли на первое, будетъ въ отв?т? 350, столько рублей прибыли дастъ 1000 р. въ теченіе 5 л?тъ.

Простое и сложное тройное правило распред?лялись обыкновенно въ XVI—XVIII вв. на массу мелкихъ отд?ловъ, которые носили очень замысловатыя названія, въ зависимости отъ содержанія задачъ. Вотъ эти названія по Магницкому: a «тройное торговое правило», т. е. вычисленіе стоимости купленнаго товара; b «тройное торговое о купляхъ и продажахъ»,—то же, что и предыдущее, но только посложн?е; c «тройное торговое въ товарныхъ овощахъ и съ выв?скою», когда приходится д?лать вычетъ за посуду и вообще оболочку; d «о прибыли и убытк?»; e «статья вопросная въ тройномъ правил?», въ ней задачи очень разнообразнаго содержанія, по большей части съ обратной пропорціональностью; f «статья вопросная со временемъ», гд? спрашивается высчитать продолжительность работы, пути и т. п.

Въ начал? ХІХ-го в?ка было предложено Базедовымъ еще изм?неніе въ тройномъ правил? и опять въ ту-же самую сторону машинальнаго, безсознательнаго навыка. Этотъ н?мецкій педагогъ задался ц?лью еще бол?е упростить р?шеніе задачъ на тройное правило т?мъ, что еще сильн?е уменьшить разсужденіе при ихъ р?шеніи и зам?нить его письмомъ готовой формулы. Онъ сов?туетъ располагать данныя числа 2 столбцами: въ л?вомъ пишется неизв?стное количество и вс? т? числа, которыя должны войти въ числители формулы, а въ правомъ—вс? множители, составляющіе знаменателя. Прим?ръ: для продовольствія 1200 челов?къ въ теченіе 4 м?сяцевъ требуется 2400 центнеровъ муки; на сколько челов?къ 4000 центнеровъ выйдетъ въ 3 м?сяца? Пишемъ 2 столбца:

?      — 1200

2400 — 4000

3      —      4

и получаемъ формулу отв?та

. Почему числа 1200, 4000 и 4 вошли въ числителя, а 2400 и 3—въ знаменателя? На это можно отв?тить такимъ правиломъ: въ числителя входитъ число, однородное съ искомымъ, т. е. въ нашемъ случа? число 1200; кром? того въ него же входятъ вс? т? числа второго условія {4000 · 4), которыя прямо пропорціональны искомому; если же они обратно пропорціональны, какъ въ нашемъ прим?р? 3, то они зам?няются соотв?тствующнми числами 1-го условія (4-мя).

Вотъ все, что мы можемъ сообщить объ историческомъ развитіи тройного правила. Изъ всего сказаннаго можно сд?лать заключенiе, которое годится для нашего времени. Среднев?ковая ари?метика, съ ея стремленіемъ давать только правила и пропускать выводы, съ ея механическимъ р?шеніемъ вопросовъ, им?ла слишкомъ большое вліяніе на всю посл?дующую школьную жизнь, и настолько большое, что сл?ды его проявляются на каждомъ шагу и въ наше время. Какъ бы мы ни старались отряхнутьоя отъ традиціи, освободиться отъ привычки, но он? слишкомъ т?сно насъ охватили и слишкомъ кр?пко къ намъ привлеились, чтобы ихъ можно было отбросить безъ остатка. Наша школа все еще повинна въ механическомъ заучиваніи ари?метики, безъ достаточнаго участія сознательности. Тройное правило служитъ хорошимъ доказательствомъ этого. Нер?дко забываетъ наша средняя и низшая школа, что она призвана давать общее образованіе, а не готовить бухгалтеровъ, конторщиковъ, счетчиковъ и т. п. Между т?мъ ремесленные пріемы итальянцевъ и н?мцевъ, стремившихся не развить челов?ка, а сд?лать изъ него счетную машину, прим?няются нер?дко и теперь. Къ чему вс? эти правила: тройное, см?шенія и т. д.? Какой ц?ли они должны удовлетворять? Они должны являться выводомъ изъ р?шенныхъ задачъ, а не предшествовать р?шенію задачъ; вредно р?шать задачи по предварительно усвоенному правилу, но надо стараться доходить до отв?та свободнымъ личнымъ соображеніемъ. Однимъ словомъ, правило не надо понимать въ вид? рецепта, который достаточно запомнить, чтобы по нему приготовлять разныя мудреныя р?шенія; но имъ сл?дуетъ дорожить только какъ выводомъ, къ которому приходитъ ученикъ: если ученикъ не можетъ сд?лать этого вывода, то это значитъ, что задачъ взято мало, или он? расположены не систематично, и эту ошибку надо поправить бол?е систематическимъ расположенiемъ задачъ; если ученикъ д?лаетъ не такой полный и обстоятельный выводъ, какой хот?лось бы учителю, то лучше удовольствоваться имъ, ч?мъ заставлять разучивать правило, навязанное учебникомъ: оно скоро забудется и не окажетъ развивающаго д?йствія, такъ какъ необходимымъ качествомъ математическаго вывода должна быть самостоятельность, а необходимьмъ условіемъ сознательности должно быть т?сное связываніе вс?хъ частей курса, почему и не можетъ им?ть м?ста механическое вкладываніе въ голову отд?льныхъ кусковъ, усвояемыхъ памятью.