Математика о хаосе

Математика о хаосе

Понятие «Хаос» в философских теориях древности означало бесконечное пространство, существовавшее до начала мира. В греческой мифологии это беспорядочная субстанция, из которой возник порядок – вселенная, вышли боги, люди, Земля, небесные светила. На протяжении нескольких тысячелетий это понятие было достоянием философии и мифологии, науке же предоставлялось описание «упорядоченного мира» – Космоса в понимании античных философов.

В современном мире с понятием хаоса связывается неповторяющаяся, нерегулярная, беспорядочная последовательность состояний. Буквально несколько десятилетий назад считалось, что такие процессы крайне редки, а природа развивается непрерывно, без резких скачков. Действительно, вся классическая физика «механика Ньютона и Галилея, электродинамика Максвелла, статистическая физика – и отчасти современная, например квантовая теория, оперируют с понятиями функции и отображения, геометрическим образом которого является кривая или поверхность. Галилею принадлежит фраза: «Вся наука записана в великой книге – я имею в виду Вселенную, – которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного ее слова; без них он подобен блуждающему во тьме». Во времена Галилея под функцией понималось лишь то, что в современной математике называют непрерывной функцией – ее график можно нарисовать, не отрывая пера от бумаги. Такой подход к описанию природы заранее исключал возможность рассмотрения полного беспорядка – хаоса.

Однако с развитием понятия функции усложнялись и геометрические образы, которыми оперировали физики для описания природы. Достаточно сложные математические объекты – такие, например, как функция, имеющая разрыв в каждой точке (функция Дирихле), непрерывная линия, плотно заполняющая весь квадрат, или множество точек плоскости, не имеющее площади, – стали рассматриваться около 100 лет назад. Геометрические образы этих абстрактных математических объектов довольно трудно представить и невозможно нарисовать. Эти примеры могут показаться пустой игрой ума, однако существуют и природные образования, явления и процессы, для описания которых необходимо привлечение математических объектов со столь экзотическими свойствами, получивших название фракталов. Эти объекты и лежат в основе современной теории хаотических процессов.

Почему хаос казался экзотикой несколько лет назад? Потому что эволюцию систем со времен Лапласа принято описывать, задавая их начальное состояние и скорость его изменения; для этого и была создана прекрасно работающая на практике теория дифференциального исчисления. С математической точки зрения поведение системы в любой момент времени полностью определено, если выполняются условия существования и единственности решения соответствующего дифференциального уравнения. Долгое время считалось, что в такой определенной (детерминированной) системе не может возникать хаоса, ведь решение этого уравнения – «гладкая», то есть непрерывная и дифференцируемая, функция. Лишь на границе XIX и XX веков Анри Пуанкаре обнаружил, что в некоторой гамильтоновой механической системе могут появляться хаотические движения. Эти примеры были восприняты современниками как парадокс.

Однако сейчас стало совершенно ясно, что если речь идет о достаточно сложной нелинейной системе, то ее хаотическое состояние – скорее правило, нежели исключение, оно является неотъемлемым свойством таких реальных систем. К настоящему времени открыто множество динамических систем, в которых возникают состояния нерегулярного, хаотического движения. Прекрасной иллюстрацией служат забавные механические игрушки, появившиеся сейчас в продаже, – маятники на карданных подвесах, причудливые движения которых приковывают к себе взгляд и завораживают, подобно текущей воде или огню. Подчеркнем, что такое поведение не является следствием ни случайного возмущающего воздействия – такие воздействия не включены в модель системы, приходящей к хаосу, – ни бесконечного числа степеней свободы – хаос возникает уже в системах, описываемых тремя координатами, – ни неопределенности (классической или квантовой) в начальных данных. Причина появления хаотических режимов кроется в нелинейной природе динамической системы и ее неустойчивости, проявляющейся в необычайно быстром разбегании первоначально близких траекторий: при достаточно большом удалении состояния системы от начального включаются нелинейные механизмы, возвращающие траекторию в окрестность начальной точки; вследствие неустойчивости ее вновь отбрасывает, и за счет этого происходит беспорядочное запутывание траектории. Заметим, что в линейных моделях, с которыми работала наука XVII–XIX веков и даже начала нашего столетия, хаотических режимов не возникает – они являются свойством исключительно нелинейных систем.

Интересно, что теоретически хаотическая траектория воспроизводится полностью, если создать точно такие же начальные условия, однако сколь угодно малые возмущения начального состояния приводят к абсолютно не похожему поведению системы. На практике это означает, что невозможно предсказать поведение хаотической системы на большой период времени, так как повторить начальные условия и проводить вычисления можно лишь с определенной точностью; по сути дела, это свойство хаотических систем – необычайная чувствительность к малым воздействиям – означает конец эпохи лапласовского детерминизма. Одно из далеко идущих следствий этого свойства иллюстрируется примером так называемой бабочки Лоренца: взмах крыльев бабочки может повлиять на климат Земли в глобальном масштабе, так как атмосфера является сложной нелинейной системой с неустойчивыми режимами.

Эти свойства хаотических систем приводят и к другим интересным выводам, чрезвычайно важным как с теоретической, так и с практической точки зрения. Например, оказывается, что сложная нелинейная система в процессе своего развития обязательно проходит через этапы хаоса. В физике такими этапами являются так называемые фазовые переходы (к ним относится, в частности, кипение воды: каждый, кто наблюдал бурлящий кипяток, скажет, что это действительно хаотический процесс). Человек – тоже сложная нелинейная система, и нам знакомы кризисы и депрессии, когда кажется, что весь мир рушится и нет ничего надежного. Развитие общества проходит через этапы социальных, технических, экономических и других революций, также сопровождающихся хаосом. Кризисы и революции – неминуемые этапы развития систем, и если мы не хотим оставаться застывшими, неподвижными, то неизбежно должны проходить через хаос. И относиться к этому надо не как к катастрофе, а как к естественному природному явлению, которое, как и все в природе, не может само по себе быть ни плохим, ни хорошим.

Обращаясь к мифологии, можно вспомнить, что хаос призван уничтожить, поглотить, разрушить старое, отжившее и дать дорогу новому, не существовавшему прежде. Причем зародыши, точнее, никак еще не проявленные потенциалы этого нового содержатся в самом хаосе, являясь его природой. Находясь в хаосе, имеет смысл не теряться, а постараться помочь природе, отбросив без сожаления (отдавая при этом должную дань благодарности) те старые формы, которым пришло время умереть, и пытаясь найти новое, дать импульс к его рождению. Свойства хаоса таковы, что если этот импульс совпадает по направлению с потенциальным путем развития, предназначенным законами природы, то он приводит к чрезвычайно значимым, заметным результатам, сколь бы малым и слабым ни был в начале. Математически это обусловлено существованием неустойчивых направлений возмущения нелинейной системы. Казалось бы, мы вновь пришли к предопределенности? Не совсем так, ведь неустойчивых направлений много, и система вольна выбрать любое из них.

С другой стороны, пассивное поведение в хаосе не приведет ни к чему хорошему – мы рискуем оставаться в этом неопределенном состоянии, не создавая ничего нового, сколь угодно долго. Нужно совершить некое действие, движение, первоначально хотя бы вслепую, для того чтобы почувствовать назначение этого этапа, понять, куда влечет нас течение реки эволюции, и потом, помогая ему, раскрыть, проявить потенциалы, заложенные в хаосе.

Взрывной первоначальный рост новой формы не может продолжаться вечно. Рано или поздно включаются стабилизирующие силы, связанные с нелинейностью. Они гармонизируют систему, уравновешивают ее и дают возможность спокойного существования в течение достаточно длительного времени. Это период накопления опыта, осознания значения нового рождения, период выполнения миссии. Это время устойчивого развития характеризуется тем, что теперь практически невозможно переключиться на иной режим, существенно отличающийся от данного.

В греческой мифологии эти этапы символически связывались с двумя божествами – Дионисом и Аполлоном. Первый из них – бог творческого вдохновения, экстаза, растворяющийся во множестве рожденных форм; второй – бог гармонии, приводящий в порядок, очищающий, отбрасывающий все лишнее.

Так символическое видение мира, отраженное и дошедшее до нас в мифологических образах, удивительным образом смыкается с современной наукой, использующей в своем языке иные образы – математические. Может быть, благодаря своей неисчерпаемой многогранности, родственной символическому языку мифа, математика и обладает столь удивительным свойством адекватно отображать реальность?

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ