Математика о судьбе и свободе выбора

Математика о судьбе и свободе выбора

«Все, что ждет тебя в этой жизни, заранее предопределено. Рок, Судьба ведет человека по заранее намеченному пути». Что мы ответим тому, кто попытается нас в этом убедить? Скорее всего, повертим пальцем у виска или отмахнемся: «Не может этого быть. Придет же такое в голову!»

Нам ближе другой тезис: все зависит от нас, мы – хозяева своей жизни, строим ее по своему желанию, сами определяем свой путь. С этим мы склонны согласиться… процентов на девяносто.

А что же скрывается за оставшимися десятью?

Время от времени мы попадаем в ситуации, которые, несмотря на все свои усилия, не в силах изменить. Иногда жизнь несет нас словно поток, и все попытки выбраться из него не приводят к успеху. И тогда мы произносим загадочное слово «судьба». «От судьбы не уйдешь», – покорно разводим руками, встречаясь лицом к лицу с ситуацией, которой больше всего хотели избежать. «Не судьба!», – если что-то не сложилось, не получилось, не осуществилось.

Слово «судьба» надежно обосновалось в нашем лексиконе. Что-то такое есть в мире… Что же это все-таки? И какое место занимает в нашей жизни?

Древние традиции, религиозные концепции дают вполне определенный ответ на этот вопрос. Но мы уже не верим мифам и священным писаниям, мы давно разучились понимать их символический язык. Современный человек за ответами на свои вопросы обращается к науке. К ее ведению мы теперь относим законы природы, и уж, наверное, она-то и может объяснить, что в этом мире предопределено, а что – нет. И если есть в мире Судьба, то она должна найти свое отражение в математических моделях.

Немного истории. Детерминизм

Первые математические модели развивающегося мира относятся к концу XVII века, ко времени создания теории бесконечно малых и дифференциального исчисления. Эти модели обладали замечательным свойством: оказывается, если описать взаимодействие всех составных частей системы и задать ее начальное состояние, то ее эволюция определяется совершено однозначно. Вот так пощечина нам, неверующим: наука знает, что такое Судьба! Тайна Вселенной раскрыта – ее будущее уже определено настоящим, все предрешено, и все можно предсказать. Нужно просто решить дифференциальное уравнение, хотя и очень сложное. Для этого его еще надо написать, задать начальные условия… Но, в принципе, ничто, казалось бы, не запрещает это сделать.

Идея, что решительно все в этом мире предопределено, в то время была очень привлекательной и даже революционной на фоне христианского догматизма. Она утверждала веру в человеческий разум, способный объять всю Вселенную – ведь вот уже найден ключ к ее секретам. Предопределенность стала синонимом объективности научных знаний, возможность точных предсказаний рассматривалась как величайший триумф науки. Нет никаких неожиданностей – всякое явление однозначно определено поведением системы в прошлом. «В природе вещей нет ничего случайного», – утверждает Бенедикт Спиноза; с ним соглашается подавляющее большинство ученых XVI, XVII, XVIII, XIX веков… Да, мир изменяется, но изменяется он по раз и навсегда заданному сценарию, случайность – это иллюзия, возникающая, когда мы не знаем точно законов, по которым происходят изменения.

Достижения науки с момента ее возникновения всегда ложились в основу мировоззрения. Идея крайне выраженного детерминизма воплотилась и в философских концепциях, и в повседневных моделях поведения. Несмотря на весь наш сегодняшний скепсис по отношению к судьбе и веру в свободу своего выбора, фигура поручика Вулича, фаталиста, описанного М. Лермонтовым в «Герое нашего времени», кажется нам сейчас вовсе не гротескной, а вполне реальной.

Неужели фатализм? Новые надежды

И все-таки такая картина мира выглядит скучной. Неужели действительно миллионы лет назад было запрограммировано и возникновение жизни, и все катаклизмы и войны, все радости и напасти рода человеческого? Неужели все наши поступки, порой такие необъяснимые и непредсказуемые, полностью предопределены, и все наши сомнения, мучительные вопросы, моменты выбора – лишь пляска марионеток в театре неумолимой судьбы?

Если следовать этой точке зрения, то Вселенная с ее многочисленными формами жизни – это лишь чуть усложненный вариант известной математической игры «Жизнь», в которой колонии «клеточек» живут на тетрадном листке. Правила этой игры заданы раз и навсегда и очень просты: если число соседей клетки больше трех или меньше двух, клетка умирает, а если пустую ячейку окружают три живые клетки, то в ней рождается новая. Этих условий достаточно для того, чтобы сообщество клеток развивалось. Его дальнейшая судьба зависит исключительно от начальной конфигурации и законов, управляющих рождением и смертью. Некоторые структуры исчезают, другие достигают устойчивого положения, третьи движутся, иногда очень замысловато… Чем не наша действительность? Картинка страшноватая, прямо скажем. Но ведь это математика, с ней не поспоришь…

…если только реальность в самом деле описывается теми уравнениями, которые рассматривались во времена Ньютона и Лейбница. А это, как выясняется, не совсем так. И даже совсем не так. С развитием качественной теории дифференциальных уравнений приговор смягчается. Оказывается, в какие-то моменты уравнение, описывающее развитие нашей системы, может иметь несколько решений. То есть существуют точки, в которых у системы есть выбор дальнейшей траектории. Известная ситуация витязя на распутье: направо пойдешь – коня потеряешь, налево пойдешь…

Что же получается? Концепция, пришедшая на смену полному детерминизму, утверждает, что в своем развитии система, взаимодействующая с окружающей средой, проходит ряд чередующихся этапов. Стабильное, предопределенное, предсказуемое развитие рано или поздно прерывается точками развилки пути. В науке эти ситуации называются бифуркационными, от английского слова fork «вилка»; бифуркация – двузубая вилка, геометрический образ ветвящегося пути. В точках бифуркации существует определенный набор сценариев дальнейшего развития системы. Причем в математических моделях выбор одного из вариантов происходит непредсказуемым, случайным образом.

Такие модели несколько успокаивают наше самолюбие. Обидно ведь: думаешь, что ты все решаешь сам, а на самом деле оказывается, что тобой кто-то руководит – хотя бы и сама Природа. Как-то ближе сердцу такая картина, когда хоть что-то в своей жизни ты выбираешь самостоятельно, когда в твоих руках пусть не судьба мира, но хотя бы твоя собственная и твоих близких.

И действительно, эта модель очень похожа на нашу реальность. Куда поехать в отпуск – на дачу или в теплые края? Выбираешь Крым – и целый месяц загораешь себе на солнышке, купаешься в теплом море, и нужны жуткие катаклизмы, чтобы вырвать тебя из этого вполне предопределенного времяпрепровождения. Или выбираешь дачу – и так же предопределенно тот же месяц копаешься в огороде с чувством исполненного долга перед семьей, ходишь на рыбалку или за грибами…

Так и вся жизнь: осматриваешься, выбираешь путь, идешь до следующей развилки, и все повторяется… Если нарисовать это на бумаге, получится очень знакомая и приятная глазу картинка – дерево. Математики называют его «ветвящийся граф». В этом образе отражен весь набор возможных траекторий движения системы.

Как устроен выбор? «Тонкие» модели

Итак, неправ был Спиноза. Есть случайность в природе. Но… Вдруг просто наши модели слишком грубы и лишь поэтому не позволяют предсказать дальнейший путь?

Рассмотрим пример: маятник на жестком подвесе. Слегка отклонив его от состояния равновесия и предоставив самому себе, мы получим «полностью предсказуемое» движение – колебания, описываемые решением начальной задачи для дифференциального уравнения. Оно обладает всеми чертами, свойственными детерминированной системе: существует при любых начальных данных, единственно и устойчиво. Однако если в какой-то момент остановить маятник и направить его подвес вертикально вверх, то формальное решение задачи предсказывает ему вечную неподвижность. В реальности маятник, конечно, упадет, но дальнейшее его движение невозможно предсказать заранее: в математической модели не содержится ничего, что позволяет определить, в какую сторону, вправо или влево, продолжит он свои колебания. Мы встречаемся здесь с «неклассическим» случаем – неустойчивостью решения и непредсказуемостью поведения системы: имеется два варианта ее развития. Мы вынуждены говорить, что дальнейшее движение непредсказуемо и случайно.

Но можно, например, учесть тонкие эффекты взаимодействия маятника с окружающей средой, малые движения точки подвеса и т. п., то есть вместо «грубой» модели использовать более тонкие, взять своего рода «микроскоп» и в него разглядывать точки бифуркации. Может, тогда случайность исчезнет и выбор вновь станет предопределенным?

Полная свобода: хаос

Принципиально новая математика, родившаяся в XX веке, в корне перевернула многие представления о мире, в котором мы живем. Основы ее были заложены почти 100 лет назад французом Анри Пуанкаре, но тогда его идеи развития не получили. А вернулись к ним ближе к середине нашего века. Суть нового подхода заключается в том, что мир, который до сих пор считался развивающимся плавно и постепенно, оказался нелинейной системой, в которой есть и резкие переходы, и неустойчивости, и неоднозначности. А следствием этого является, например, то, что один взмах крыла бабочки «в нужное время в нужном месте» – то есть в момент неустойчивости – способен породить резкие и глобальные изменения климата всей Земли.

Эти открытия произвели эффект разорвавшейся бомбы. Ученые потупили взоры. В 60-х годах сэр Джон Лайтхил, президент Международной ассоциации математических исследований, посчитал своим долгом принести извинения перед просвещенным сообществом за то, что в течение 300 лет математики вводили человечество в заблуждение, так как концепция детерминизма оказалась далеко не безусловной.

Но вернемся к точкам бифуркации. Вооруженные новейшим «микроскопом», мы заглядываем в них… И видим там самый настоящий хаос. Динамический. Дело в том, что, прежде чем выйти на одну из траекторий, видимых «невооруженным глазом» на нашем дереве, система попадает в клубок, состоящий из бесконечного множества запутанных траекторий, и начинает крутиться в нем, как белка в колесе, беспорядочно перескакивая с нитки на нитку. Для того чтобы совершить такой скачок, бывает достаточно сколь угодно малого воздействия извне, ведь в клубке практически в каждой точке соприкасаются сразу несколько нитей, ведущих в самых разных направлениях.

Хаос – не экзотика, в своей жизни мы сталкиваемся с ним очень часто. Десять лет ты учился в школе, и всегда было более или менее известно, что будет завтра, а что – через месяц, через год… А потом жизнь вдруг взрывается: выпускные экзамены, бал – и ты вытолкнут во взрослый мир, живущий по своим суровым законам. Поступать в институт? В какой? Устраиваться на работу? Какую? Голова идет кругом, руки опускаются… Закончил институт, университет – проблемы те же. Переход на новую работу, сокращение штатов, пенсия… Надо строить жизнь заново – а как? Финансовый кризис выбивает из колеи уже не одного человека – вся страна превращается в разворошенный муравейник.

Поневоле задумаешься, нужна ли тебе такая свобода. В хаосе возможно все, здесь существует бесконечное множество вариантов развития, но что толку, если, перебирая вариант за вариантом, перескакивая с траектории на траекторию, ты не можешь вырваться из этого клубка, обреченный вращаться в нем, кажется, до скончания века?

Как же жить в мире хаоса?

«Ну, не все так плохо», – такой вывод можно сделать из анализа математических моделей. Выход все-таки есть. И даже не один – вспомним наше дерево. С точки зрения грубой модели движение по его ветвям означает изменение с течением времени некоторых параметров системы, описывающих ее «в целом», – для маятника это, например, положение центра тяжести. При подробном описании эти параметры являются «внешними», задающими общее состояние системы, они меняются медленно, но именно их изменение обеспечивает выход системы из хаоса. Изменение внешних параметров в математических моделях играет роль Судьбы, влекущей систему сквозь череду кризисов и этапов спокойного развития.

И что же, сидеть и ждать Судьбы? Можно прождать всю жизнь. Но есть и конструктивные соображения. Среди траекторий, переплетающихся в динамическом хаосе, всегда есть несколько жизнеспособных, соответствующих общему направлению эволюции системы, которые ведут к выходу на отрезок стабильного развития. Важно не ждать сложа руки, куда вывезет нас очередная кривая, а найти одну из этих «правильных» траекторий, и рано или поздно она, подобно нити Ариадны, непременно выведет нас из лабиринта. Все, что от нас требуется, это не сидеть на месте, а делать шаги в выбранном направлении. А еще – «спокойствие, только спокойствие!»: не паниковать, не дергаться, не перескакивать с нитки на нитку в поисках сиюминутной выгоды, а крепко держаться за путеводную нить, что бы ни происходило вокруг. Хаос – лишь один из этапов долгого пути эволюции, он не может длиться вечно – пока есть хоть кто-то, кто ищет из него выход.

…Бешеная пляска воды горного потока, клочья облаков, рвущиеся ветром, извивающиеся языки пламени… В их беспорядочном движении, казалось бы, нет никакой закономерности. Но стоит изменить масштаб – и мы увидим поток, стремящийся к морю, гигантские атмосферные вихри циклонов, костер…

Течет река времени. Рождаются и гибнут цивилизации, сменяя друг друга, подвластные законам Истории… Ручейки человеческих жизней, причудливо петляя, сливаются в речки, питающие собой реки побольше… Все они впадают в одну великую реку. Куда несет она свои воды?

Алексей Чуличков, д-р физ. – мат. наук, МГУ

Данный текст является ознакомительным фрагментом.