55 Вращение Луны

55

Вращение Луны

Просматривая свою статью «Вращение Луны», опубликованную в апрельском номере «Electrical Experimenter», я добавил несколько замечаний к первоначальному тексту, желая подкрепить и разъяснить выдвинутую концепцию. Вследствие типографской ошибки они были пропущены, и поэтому я счел необходимым отправить еще одно письмо, которое, к сожалению, было получено слишком поздно, чтобы войти в майский номер. Между тем я получил много писем, в которых некоторые явления, свойственные вращающимся телам, например, лунные либрации по долготе, выдаются за доказательства наличия энергии, вызывающей вращательное движение, то есть за подтверждение осевого вращения спутника в истинном физическом смысле. Я полагаю, что нижеследующее более подробное изложение снимет все выдвигаемые возражения и обратит тех, кого пока еще не удалось убедить, в приверженцев моих взглядов.

Ил. 1. Для определения кинетической энергии вращающейся массы на этой схеме предлагается выделить ряд точек внутри прямого стержня, или массы М, таким образом, чтобы они были расположены последовательно на расстояниях от оси вращения О. Зная их числовое выражение и скорость вращения, можно без труда вычислить кинетическую энергию массы

Кинетическую энергию вращающейся массы можно измерить четырьмя способами, которые представлены на схемах в иллюстрациях 1, 2, 3 и 4 и, возможно, окажутся в той или иной степени полезными.

Согласно иллюстрации 1, для этого способа необходимо наметить разумный ряд точек, например, O₁ O₂, O₃ и т. д. внутри прямого стержня, или массы М, соответственно, на расстояниях r₁, r₂, r₃ и т. д. от оси вращения О и вычислить квадратный корень среднего квадрата этих расстояний. Пусть величина R_g обозначает радиус инерции [массы], тогда ее фактическая скорость при n оборотах в секунду будет равна V_e = 2?rR_gп, а кинетическая энергия Е = ?MV_e? = ?M(2?rR_gn)?.

Ил. 2. В этом случае масса М, вращающаяся со скоростью n оборотов в секунду вокруг оси О, разделена на множество элементов (секторов), или малых частей, на различных радиусах от О. Зная кинетическую энергию каждой части, легко определить кинетическую энергию всей массы путем сложения отдельных величин

На иллюстрации 2 масса М, совершающая п оборотов в секунду вокруг оси О под прямым углом к плоскости бумаги, разделена на множество элементов (секторов), или малых частей; наиболее удобны очень тонкие концентрические пластины, например, l₁, l₂, l₃ и т. д. на расстояниях r₁, r₂, r₃ и т. д. от О. Поскольку кинетическая энергия каждой части равна половине произведения ее массы и квадрата скорости, сумма всех этих энергий составных частей

E = ??mV? = ?m₁V₁² + ?m₂V₂² + ?m₃V₃² +… =

?m₁(2?r₁n)? + ?m₂(2?r₂n)? + ?m₃(2?r₃n)? +…

Ил. 3. Иная форма выражения энергии вращающегося тела может быть получена путем определения его момента инерции. При этом масса М разделена на мельчайшие части m₁, m₂, m₃ и т. д. Сумма произведений этих масс на квадраты их расстояний есть момент инерции, который, в зависимости от угловой скорости, составляет кинетическую энергию Е

Иная форма выражения энергии вращающегося тела может быть получена путем определения его момента инерции. С этой целью масса М (ил. 3), вращающаяся со скоростью п оборотов в секунду вокруг оси О, разделена на мельчайшие части, обозначаемые m₁, m₂, m₃ и т. д., соответственно на расстояниях r₁, r₂, r₃ и т. д. от вышеупомянутой оси. Сумма произведений всех этих малых масс на квадраты их расстояний есть момент инерции I, и тогда Е = ?I??, где ? = 2?n есть угловая скорость.

Очевидно, что во всех этих случаях есть много моментов, требующих большой точности во всех деталях, но, как правило, на практике достаточно соблюдать очень немногие.

Ил. 4. В этом случае движение разложено на два отдельных компонента — одно поступательное в окрестности О, а другое вращательное — вокруг С. Совокупная кинетическая энергия массы равна сумме этих двух энергий

Еще один способ вычисления кинетической энергии представлен на иллюстрации 4. В этом случае величина I выводится на основе момента инерции I_e на другой оси, параллельной О и проходящей через центр тяжести С массы М. В соответствии с этим энергия движения Е = ?MV? + ?I_e?? где V есть скорость центра тяжести.

Считаю, что всё вышесказанное чрезвычайно важно, так как я замечаю, что корреспонденты, даже те, которые создают впечатление людей, хорошо знакомых с законами механики, не в состоянии провести различие между гипотетическими и физическими истинами, что является существенным фактором в моей аргументации.

Оценивая кинетическую энергию вращающейся массы любым из показанных способов, мы через посредство соответствующих понятий и методов аппроксимации приходим к выражениям, которые в числовом значении могут быть доведены до любой желаемой степени точности, но не определяют в полном смысле слова подлинное состояние тела. Чтобы внести ясность, развивая идею, заложенную в схеме иллюстрации 1, мы должны обнаружить некую гипотетическую скорость, с которой вся масса должна будет перемещаться, чтобы содержать в себе вышеупомянутую энергию — состояние, абсолютно нереальное и несовместимое с действительностью. Единственно, при условии, что все части тела имеют одну и ту же скорость, лишь произведение ?MV? точно определяет физическую сущность и является в числовом выражении и описательно точным. Еще дальше от очевидной истины уравнение движения, полученное способом, указанным в иллюстрации 4, в котором первое слагаемое представляет кинетическую энергию поступательного движения тела целиком, а второе — кинетическую энергию его осевого вращения. Первое потребовало бы перемещения массы по определенной траектории и в определенном направлении, при этом все части должны иметь одинаковую скорость, второе — его одновременного перемещения по другой траектории и в другом направлении, при этом части должны иметь различные скорости. Эта абстрактная идея углового движения является основным виновником возникновения иллюзии осевого вращения Луны, которую я попытаюсь развеять с помощью дополнительных доказательств.

Ил. 5. Этот чертеж представляет конструкцию, состоящую из 8 шаров М, помещенных на спицы S и вращающихся вокруг центра О. Шары могут свободно вращаться на стержнях, которые могут быть закреплены. С помощью этой системы можно доказать ложность вывода об осевом вращении Луны

С этой целью обратим внимание на иллюстрацию 5, представляющую систему, состоящую из восьми шаров М, которые укреплены на спицах радиально исходящих из ступицы H, вращающейся вокруг центральной оси О, предположим, на подшипниках качения. Это устройство подобно представленному выше, за исключением того, что шары не имеют жесткого соединения со спицами, а насажены на винтовые стержни S, которые обычно свободно вращаются, но могут быть закреплены, с тем чтобы позволить и шарам, и осям свободно вращаться и жестко закрепляться, когда это будет необходимо. Для облегчения наблюдения на спицы нанесены радиальные обозначения, а нижняя часть шаров заштрихована. Изначально допустим, что чертеж изображает состояние покоя, при этом шары могут свободно вращаться, не встречая помех в виде трения, и пусть системе будет сообщена угловая скорость ? = 2?n движения по часовой стрелке, как показывает длинная жирная стрелка. Представим себе шар М, при этом его последовательные положения 1, 2, 3–8 в пространстве, а также относительно спицы будут именно такими, какими они изображены на чертеже, тогда анализ этого графика делает очевидным тот факт, что шар, перемещаясь с угловой скоростью ? вокруг О в направлении часовой стрелки, вращается относительно своей оси с той же угловой скоростью, но в противоположном направлении, указанном пунктирной стрелкой. Объединенный результат этих двух движений есть такое поступательное движение шара, что все частицы приводятся в движение с одной и той же скоростью V, которая равна скорости его центра тяжести. В этом случае, при условии, что нет абсолютно никакого трения, кинетическая энергия каждого шара будет определяться произведением ?MV?, и не приблизительно, а с математической точностью. В случае, когда оси плотно закреплены и шары жестко зафиксированы на спицах, такое вращательное движение относительно осей становится физически невозможным, и тогда выясняется, что кинетическая энергия каждого шара возрастает, при этом прирост абсолютно равен энергии вращения шара на своей оси.

Этот факт, подкрепленный и теоретически, и экспериментально, является основой всеобщей убежденности, что вращающееся тело — в данном варианте шар М, обращая всегда одну и ту же сторону к центру движения, как ни странно, вращается на своей оси в том направлении, которое обозначено короткой сплошной стрелкой. Но вращения не происходит, хотя, на первый взгляд, кажется, что оно есть. Заблуждение выявится в ходе дальнейшего исследования.

Для начала обратите внимание на то, что, когда масса, скажем, якорь электромотора, вращающийся с угловой скоростью ?, реверсирует, его скорость равна -?, а разность ? — (-?) = 2?. Тогда, если шар зафиксировать на спице, разность угловой скорости составит лишь ?: следовательно, ему должна быть сообщена дополнительная скорость ?, чтобы вызвать вращение шара на собственной оси по часовой стрелке в истинном значении слова. Тогда кинетическая энергия была бы равна сумме энергий поступательного и осевого движений, не просто в абстрактном математическом значении, но в качестве физического явления. Я в полной мере осознаю, что, согласно широко распространенному мнению, если шар не зафиксирован на стержне, он вообще не поворачивается на своей оси, он лишь вращается с угловой скоростью всей конструкции, будучи жестко закрепленным на той же оси, но истина будет очевидна после более детального изучения этого вида движения.

Пусть система вращается, как было принято и проиллюстрировано вначале, когда шары не закреплены на стержнях, и пусть стержни постепенно закрепляются, вызывая трение, которое медленно уменьшает и, в конце концов, препятствует скольжению. На начальном этапе все части каждого шара перемещались со скоростью центра тяжести, но так как подшипниковое сопротивление всё более и более заявляет о себе, поступательная скорость частиц, находящихся ближе к оси О, будет убывать, в то время как таковая диаметрально противолежащих частиц будет возрастать, пока не будут достигнуты максимальные значения этих изменений, когда шары прочно закреплены. В этом процессе мы, таким образом, отбираем массы у частиц, находящихся ближе к центру движения, и тем самым кинетическую энергию поступательного движения, в то же время добавляем к энергии тех частиц, которые находятся дальше и, очевидно, что прирост окажется б?льшим, чем потеря, так что фактическая скорость каждого шара в целом возрастет. Только за счет этого мы имеем возрастание кинетической энергии системы, а не по причине осевого вращения шаров. Энергия Е каждого из них есть исключительно энергия поступательного движения с фактической скоростью V_e, определенной выше, так что Е = ?MV_e?. Осевые вращения шара в любом из двух направлений лишь кажущиеся; они не имеют какой бы то ни было реальной основы и не требуют никакого механического усилия. Только в том случае, когда действует независимая внешняя сила, чтобы вращать ротативное тело на его оси, эта энергия проявит себя.

В этой связи следует указать, что при истинном осевом вращении неподвижно закрепленной и однородной массы все симметрично расположенные частицы вносят равный вклад в количество движения, что в данном случае не имеет места. Тот факт, что не существует даже малейшей тенденции к такому движению, может быть без труда доказан.

Ил. 6. Чертеж, представляющий шар с массой М и радиусом r, вращающийся вокруг центра О, служит для теоретического исследования движения Луны

Для этого я сошлюсь на иллюстрацию 6, где представлен шар М с радиусом r и с центром С, находящимся на расстоянии R от оси О; шар разделен на две равные части тангенциальной плоскостью pp, как показано, при этом нижняя часть сферы заштрихована для распознавания. Кинетическая энергия шара, при условии, что он совершает n оборотов в секунду вокруг О, определяется согласно первому варианту выражения как E = ?MV_e? = ?M(2?R_gn)?, где M — масса, a R_g — радиус вращательного движения. Но, как говорилось в пояснении к иллюстрации 4, мы также имеем выражение Е = ?MV? + ?I_e??, где V = 2?Rn есть скорость центра тяжести С, а I_e — момент инерции шара, находящегося в окрестности параллельной оси, проходящей через С и равный ²/₅Мi?, так что Е = ?М(2?Rn)? + ¹/₅Мr?(2?n)?. Ни одно из этих двух выражений для E не характеризует фактическое состояние тела, но первое, конечно, предпочтительнее, так как передает в сущности идею единого движения вместо двух, из которых одно не имеет основы для существования. Я берусь прежде всего доказать, что не существует вращающего момента, или вращательного усилия, вокруг центра С, и что кинетическая энергия воображаемого осевого вращения шара в математическом смысле равна нулю. Это приводит к необходимости считать две половины, разделенные тангенциальной плоскостью pp, полностью независимыми одна от другой. Пусть с₁ и с₂ будут их центрами тяжести, тогда С_c1 = С_c2 = ³/₈r. Чтобы определить кинетическую энергию полусфер, мы должны найти их радиусы движения по окружности, что можно сделать, определив моменты инерции I_c1 и I_с2 в окрестности параллельной оси, проходящей через с₁ и с₂. Можно избежать сложных вычислений, если помнить, что момент инерции любой из полусфер в окрестности оси, проходящей через С, выражается формулой Ic = ? ? ²/₅Mr? = ¹/₅Mr?, и поскольку М = 2 т, то I_c = ²/₅mr?. Это можно выразить через моменты I_c1 и I_с2, а именно: I_c = I_с1 + m(³/₈r)? = I_c2 + m(³/₈r)?. Следовательно, I_c1 = I_c2 = I_c — m(³/₈r)? = ²/₅mr? — ⁹/₆₄mr? = ⁸³/₃₂₀mr?. Следуя этому же правилу, можно найти моменты инерции полусфер в окрестности оси, проходящей через центр движения О.

Определяя моменты для верхних и нижних половин шара, соответственно, I_O1 и I_O2, мы получим I_O1 = m(R + ³/₈r)? + I_с1 = m(R + ³/₈r)? + ⁸³/₃₂₀mr? и I_O2 = m(R — ³/₈r)? + I_с2 = m(R — ³/₈r)? + ⁸³/₃₂₀mr?

Таким образом, для верхней половины сферы радиус движения по окружности

и для нижней половины

Они представляют собой расстояния от центра О, вокруг которых массы полусфер могут концентрироваться, и тогда алгебраическая сумма их энергий, которые полностью относятся к поступательному движению, а энергии осевого вращения при этом равны нулю, будет равна совокупной кинетической энергии шара в целом. Значение этого факта поможет понять ссылка на иллюстрацию 7, в которой две массы, уплотненные до точек, представлены закрепленными на невесомых нитях длиной R_g1 и R_g2, которые специально показаны смещенными, но их следует представлять совпадающими. Можно без труда увидеть, что если обе нити отрезать, в тот же момент массы отлетят по касательной к своим орбитам, при этом угловое движение станет прямолинейным, и не произойдет никакого трансформирования энергии. Теперь давайте узнаем, что произойдет, если две массы жестко соединить, а связующее звено между ними считать невесомым. В этом случае мы придем к фактическому сбою в обсуждаемом вопросе. Очевидно, что пока происходит турбулентное движение и обе массы имеют абсолютно одну и ту же угловую скорость, связующее звено не будет оказывать какого-либо влияния, вокруг общего центра тяжести масс нет ни малейшего поворотного усилия или тенденции к выравниванию энергии между ними. В тот момент, когда нити оборвутся и шары будут отброшены, они начнут вращаться, но, как указывалось выше, это движение ни прибавит, ни убавит аккумулированной энергии. Однако вращение обусловлено не исключительным свойством углового движения, а тем обстоятельством, что тангенциальные скорости отброшенных масс, или частей тела, различны.

Ил. 7. Представленные здесь две массы m и m₁ уплотнены и рассматриваются в виде точек, закрепленных на очень легких нитях различной длины. Если обе нити обрезать, а массы рассматривать как слившиеся в одну, никакого вращения вокруг общего центра тяжести не произойдет

Ил. 8. Чтобы понять проблему, представленную на иллюстрации 7, вообразите два ружейных ствола, параллельных один другому. Если одновременно выстрелить двумя шарами, соединенными воображаемым креплением, они будут вращаться вокруг их общего центра тяжести, подтверждая, что Луна обладает только кинетической энергией поступательного движения

Чтобы разобраться в этом и исследовать полученный эффект, представьте себе два ружейных ствола в иллюстрации 8, размещенных параллельно один другому и с осями, разнесенными на расстояние R_g1 и R_g2. Допустим, что два шара одного диаметра, каждый с массой т, выстреливаются из стволов с начальными скоростями V₁ и V₂, соответственно равными 2?nRg₁ и 2?nRg₂ как в случаях, уже рассмотренных. Если далее предположить, что в момент вылета из стволов шары будут жестко соединены невесомой кулисой, они будут вращаться вокруг их общего центра тяжести, и в соответствии с концепцией, изложенной в моей предыдущей статье, будет иметь место соотношение

где n — число оборотов в секунду. Выравнивание скоростей и кинетических энергий шаров будет происходить в этих условиях очень быстро, но у двух небесных тел, связанных гравитационным притяжением, этот процесс может потребовать века. Итак, это турбулентное движение реально и требует энергии, которая, очевидно, должна быть изначально подана и, следовательно, должна снижать скорость шаров в направлении полета на величину, которую можно без труда вычислить. В момент выстрела совокупная кинетическая энергия составляла Е = ?mV₁? + ?mV₂?, что, очевидно, будет равно mV₃? где V — фактическая скорость общего центра тяжести, из чего следует, что

Скорость вращения масс, несомненно, составляет V₁ — V₂ / 2, а вращательная энергия обоих шаров, которые должны рассматриваться в виде точек, выражается e = m(V₁ — V₂ / 2). Тогда кинетическая энергия поступательного движения в рассматриваемом направлении полета будет выражаться как

где V₄ = V₁ + V₂ / 2 есть скорость общего центра тяжести, так что V₃ — V₄ есть потеря скорости в направлении полета вследствие вращения точек, представляющих массы. Если вместо точек мы будем иметь дело с собственно шарами, их вращательная энергия

где i — момент инерции каждого шара вокруг собственной оси.

Как видите, мы приходим точно к тем же результатам, независимо от того, будет движение прямолинейным или орбитальным. В обоих случаях совокупная кинетическая энергия может быть разделена на две части одного и того же числового значения, но есть существенное различие. При наличии углового движения осевое вращение является не более чем абстрактной концепцией; в случае же поступательного движения это — несомненное явление.

Фактически все спутники вращаются подобным образом, и вероятность того, что ускорение или замедление их осевого вращения — при условии, что оно вообще существует — должно привести к остановке по достижении определенной угловой скорости, бесконечно мала, в то же время почти с абсолютной уверенностью можно сказать, что всякое движение такого рода должно в конечном счете прекратиться. Наиболее вероятно, что никакая подлинная Луна никогда не вращалась на своей оси, так как во время ее зарождения должна была происходить некая деформация и смещение ее центра тяжести вследствие действия силы притяжения со стороны материнской планеты, что определяет свойственное ей положение в пространстве относительно последней, в котором она пребывает безотносительно к расстоянию более или менее стабильно. В подтверждение этого допустим, что шар М на иллюстрации 5 изготовлен из неоднородного материала, а также что он опирается лишь на ось, проходящую через его центр тяжести, а не центр формы. Тогда в какой бы позиции шар ни был зафиксирован на стержнях, его кинетическая энергия и центробежная сила будут одинаковы. Тем не менее направляющая тенденция будет иметь место, так как два центра не совпадают и, следовательно, отсутствует динамическое равновесие. Если допустить свободное вращение на оси силы тяжести, тело любой возможной формы будет стремиться занять такую позицию, чтобы линия, соединяющая два центра, указывала на О, и здесь возможны два положения устойчивости, но обычно, если центр тяжести не сильно смещен, более тяжелая часть будет поворачиваться наружу. Такое положение может иметь место на Луне, если она затвердела до того, как удалилась от Земли на большое расстояние, когда систематизация масс в ее внутреннем пространстве вступила в зависимость от ее собственных гравитационных сил, безмерно более мощных, чем земные. Высказывалось предположение о яйцевидной или эллипсоидальной форме планеты, но такое отклонение от сферической формы должно быть ничтожным. Она может даже иметь идеальную сферическую форму с совпадающими центрами тяжести и симметрии, но при этом действительно вращаться. Каким бы ни было ее происхождение, дело в том, что в данное время все ее части имеют одну и ту же угловую скорость, как если бы она имела жесткое соединение с Землей. Это состояние должно сохраняться вечно, пока силы вне системы Луна — Земля не начнут действовать и не послужат причиной возникновения иных условий и, таким образом, надежда астрономов на то, что ее другая сторона может когда-либо стать видимой, должна быть отложена на неограниченно долгое время.

Движение такого рода, как я продемонстрировал, исключает возможность осевого вращения. Легче всего освободиться от этой иллюзии, если представить себе спутник разделенным на мельчайшие и совершенно независимые части, подобные пылинкам, которые имеют различные орбитальные, но строго одинаковые угловые скорости. Сразу же будет ясно, что кинетическая энергия такого скопления носит исключительно поступательный характер и нет абсолютно никакой тенденции к осевому вращению. Это также в полной мере разъясняет, почему Луна, при условии, что ее отстояние не возрастает в значительной мере, должна всегда обращать к нам одну и ту же сторону, не имея какого-либо собственного направляющего свойства, а также и без малейшего усилия со стороны Земли.

Что касается либраций по долготе, я не считаю, что они имеют какое-либо отношение к этому вопросу. В научных трудах по астрономии осевое вращение Луны принимается как физический факт, и считается, что ее угловая скорость есть постоянная величина, в то же время угловая скорость орбитального движения таковой не является, результатом чего будет видимая осцилляция, открывающая нашему взору большую поверхность. В какой-то мере это может быть верно, но мое мнение таково: одно лишь изменение орбитальной скорости, что должно быть очевидным из вышесказанного, не могло бы вызвать такой феномен, поскольку, каким бы ни было круговое движение — быстрым или медленным, положение тела относительно центра притяжения остается одним и тем же. Истинная причина этих осевых смещений лежит в изменении расстояния Луны от Земли, вследствие чего тангенциальные составляющие скорости ее частей различны. В апогее, когда планета снижается, радиальная компонента скорости уменьшается, в то время как тангенциальная возрастает, но, поскольку степень убывания первой одна и та же для всех частей, это более определенно выражается в областях, обращенных к Земле; следствием этого будет осевое перемещение, открывающее восточную сторону в большей степени. В перигее, напротив, радиальная компонента возрастает, и эффект будет как раз обратным, в результате чего будет видно больше поверхности с западной стороны. Фактически Луна раскачивается на оси, проходя через свой центр тяжести, на котором она удерживается подобно шару на нити. Силы, вовлеченные в эти маятниковые движения, несравнимо слабее тех, которые необходимы, чтобы вызвать изменения в орбитальной скорости. Если мы приблизительно оценим радиус кругового движения спутника в 600 миль, а его среднее расстояние от Земли в 240 000 миль, то энергия, необходимая для одного оборота в месяц, составила бы только (600/240 000)? = 1/160 000 кинетической энергии орбитального движения.

«Electrical Experimenter», июнь, 1919 г.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.