МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Наиболее вероятная величина фактической явки на президентские выборы 2008 г. находилась в диапазоне 41–47 %.

 С доверительной вероятностью более 0,95 можно утверждать, что без коррекции итогов голосования Медведев не смог бы победить уже в первом туре. И с доверительной вероятностью 0,7 — сделать вывод, что Зюганов, Жириновский и Медведев набрали в первом туре примерно равное число голосов. А для того, чтобы выяснить, кто из этой троицы не прошел во второй тур, требуется очень тщательный дополнительный анализ. Вполне возможно, что нынешний формальный победитель президентских выборов в соответствии с истинными итогами голосования даже не попал бы во второй тур.

Так были подтасовки на выборах или нет? А если были, то каковы их масштабы? Вопросы остаются открытыми, а ответы на них, кажется, никого не интересуют. Почему, если выяснить истинное положение достаточно просто? А вот этот вопрос гораздо важнее предыдущего, и ответить на него значительно труднее.

Сначала попробуем оценить только один показатель итогового протокола — явку избирателей на выборы. В день голосования на официальном сайте ЦИК публиковались данные по всем субъектам федерации о явке избирателей к 10, 14, 17 и 19 часам местного времени. Очень любопытная информация! Оказывается, в каждом субъекте федерации есть свое излюбленное время для голосования: где-то избиратели занимали очередь на голосование с 6 часов утра, а где-то создавали невероятную давку на избирательных участках перед самым их закрытием. Например, в 11 субъектах федерации средняя активность избирателей в утренние часы с 8 до 10 часов превысила среднюю за время выборов. При этом явка избирателе» отличалась существенной неравномерностью. Так, в С-Петербурге до 10 часов местного времени проголосовали 1,67 % зарегистрированных избирателей, в Москве — 3,79 %, в Кировской области — 12,09 %, а в Кабардино-Балкарии — 20,7 %.

Самая высокая активность избирателей отмечалась с 10 до 14 часов. Но и в этот период времени некоторые регионы сумели выделиться: в Кабардино-Балкарии за 4 часа проголосовали почти 60 % всех зарегистрированных избирателей, еще в 4 регионах — около 50 %. А в Северной Осетии за это же время проголосовало только 20 %.

В ряде субъектов федерации относительно низкая явка в первой половине дня в некоторой степени была скомпенсирована высокой активностью избирателей с 14 до 17 часов. Например, в С-Петербурге за эти три часа проголосовало столько же избирателей, сколько за предыдущие четыре.

Во многих регионах отмечалась бурная активность избирателей с 17 до 19 часов. Причем, в 6 субъектах федерации эта активность была настолько высокой, что уже к 19 часам явка избирателей превысила окончательную, и в последний час голосования некоторым избирателям пришлось забирать свои бюллетени обратно. Очень экстравагантно вели себя избиратели Северной Осетии. До 17 часов они испытывали терпение избиркомов — за 3 часа до закрытия избирательных участков в Северной Осетии проголосовало только 37 % избирателей (самая низкая явка в РФ на это время), когда в соседних северокавказских регионах «проголосовало» уже от 70 до 92 %. Зато после 17 часов началось что-то невообразимое — за 2 часа проголосовало 28,4 % избирателей, что в 4 раза превысило среднюю явку по РФ за этот период времени. Но в последний час голосования избиратели в массовом порядке потребовали возврата своих бюллетеней, в результате чего явка избирателей уменьшилась с 65,4 % в 19 часов до 61 %.

Однако отрицательная явка — все-таки экзотика. А в большинстве регионов был зафиксирован всплеск активности в последний час голосования.

Перечисленные особенности явки избирателей на выборы выглядят несколько странно, но сами по себе доказательствами наличия фальсификаций не являются. Мало ли на свете странностей?

В научно-технической среде хорошо известен метод отбраковки ошибочных данных, именуемый в просторечии «три сигмы». Метод достаточно прост и очень надежен. Суть его такова. Если в ряду опытных точек некоторые из них вызывают сомнения, то для проверки своих сомнений нужно сначала найти среднеарифметическое значение всех надежных точек. Затем вычислить отклонения от среднеарифметического значения всех надежных точек. Сумма квадратов этих отклонений делится на n-1, где n — число надежных точек. Квадратный корень из полученной величины называется среднеквадратическим отклонениями часто в технической литературе обозначается греческой буквой «сигма». Отбраковке подлежат те точки, которые отстоят от среднеарифметического значения больше, чем на три «сигмы».

Этот метод основан на законе нормального распределения случайных величин, согласно которому примерно две трети точек должны находиться в пределах одного среднеквадратического отклонения от среднеарифметического значения, 95 % — двух, 99,5 % — трех. И только 0,5 % опытных точек могут случайным образом оказаться за пределами трех «сигм». Обычно такой малой вероятностью пренебрегают и полагают, что очень большие отклонения от средней величины могли произойти из-за грубых ошибок наблюдателя, несоответствия условий испытаний заданным параметрам и т. п. Поэтому такие точки без особых раздумий просто отбрасывают.

Попробуем использовать указанный метод для оценки официальных данных о явке избирателей. Посчитав предварительно сомнительной явку избирателей, превышающую среднюю по РФ в каждый из отчетных периодов времени, проверим эти сомнения. После соответствующих расчетов выясняется, что часть «сомнительных» точек с доверительной вероятностью 0,995 все-таки попадает в доверительный интервал. Но средняя явка во всех отчетных периодах времени оказывается ниже официальной.

В отличие от обычной научной практики, в нашем случае нельзя просто отбросить точки, не укладывающиеся в «три сигмы», а следует выяснить происхождение больших отклонений. Увы, единственно разумным объяснением крайне маловероятных отклонений активности избирателей в отдельные часы голосования в подавляющем большинстве регионов представляется фальсификация явки избирателей. Разумеется, если появится иное объяснение официальным данным, его необходимо будет обсудить. Ну, а пока, за неимением других версий, придется считать явку избирателей на эти выборы искусственно завышенной.

А раз мы установили, что явка избирателей в целом по РФ была сфальсифицирована, то нет гарантии в истинности и тех точек, которые мы считали «надежными». Следует заметить, что примененный нами метод позволяет выявить только невероятные отклонения от общего ряда, никак не оценивая истинность самого ряда. Строго говоря, мы определяем не сами фальсификации, а только отклонения от некоторого уровня фальсификаций. Однако, помня о необходимости толковать любые сомнения в пользу «обвиняемого», и для упрощения задачи будем считать, что явка, соответствующая нормальному распределению, является истинной. Тогда, с доверительной вероятностью более 0,995, можно полагать, что явка избирателей на парламентские выборы 2007 г. не превышала 58 %, с доверительной вероятностью 0,95–55 % и с доверительной вероятностью 0,7 — 51 %.

На основании этих же данных с высокой степенью надежности определяется естественный график явки избирателей на голосование (в долях от числа проголосовавших): с 8 до 10 часов местного времени — 0,1; с 10.00 до 14.00 — 0,55; с 14.00 до 17.00 — 0,2; с 17.00 до 19.00 — 0,11; с 19.00 до 20.00 — 0,04. Этот график определяется, прежде всего, распорядком выходного дня избирателей и вряд ли будет сильно зависеть от типа выборов, массовой пропаганды и т. п. Поэтому его полезно учесть при оценке результатов любых выборов.

Зная о происхождении больших отклонений в явке избирателей, интересно проследить, как распределялись фальсификации по регионам в течение дня голосования. Выясняется, что во всех без исключения субъектах федерации хотя бы в один из отчетных периодов голосования отмечались отклонения явки избирателей, превышающие две «сигмы». А в 78 из 85 субъектов федерации были зафиксированы отклонения, больше трех среднеквадратических. Следовательно, с доверительной вероятностью 0,95 можно утверждать, что во всех субъектах федерации явка избирателей была искусственно завышена. И только с вероятностью 0,005 можно предположить, что в 7 субъектах федерации (Пермском крае, Ивановской, Калужской, Нижегородской, Новосибирской, Самарской и Рязанской областях) официальная явка избирателей соответствовала действительной.

С другой стороны, в подавляющем большинстве регионов хотя бы в одном из отчетных периодов времени не было значительных отклонений от средней явки избирателей. Соответственно, можно полагать, что в каждом из периодов голосования находились отдельные регионы, где явка избирателей не фальсифицировалась. Такое предположение позволяет определить нижнюю границу доверительного интервала явки избирателей.

Из допущения, что в каждый отчетный период голосования только в одном субъекте федерации с наименьшей явкой избирателей за этот период не было фальсификаций, а избирательская активность соответствовала средней по РФ, с доверительной вероятностью практически равной единице следует, что явка избирателей на парламентские выборы 2007 г. превышала 34 %. Если предположить, что подтасовки отсутствовали только в тех регионах, где явка избирателей была ниже средней по РФ более, чем на два среднеквадратических отклонения, то нижняя граница доверительного интервала будет равна 36 %. Аналогичным образом с доверительной вероятностью 0,7 определяется нижняя граница явки в 45 %.

Кроме описанных выше, существует множество других методов оценки достоверности официальных результатов выборов. И каждый новый метод, примененный в дополнение к уже использованному, позволяет сузить доверительный интервал или увеличить доверительную вероятность оценки. Например, исходя из предположения отсутствия подтасовок в 7 вышеперечисленных регионах, на основе полученного графика явки избирателей на выборы в течение дня голосования, с доверительной вероятностью 0,995 определяется предельно возможная явка избирателей на прошедшие выборы — 55 %. Тогда, изменится и ранее полученная оценка: с доверительной вероятностью 0,99975 явка не превышала 55 %.

Однако наиболее вероятной является явка в диапазоне 45–51 %. Учитывая, что по официальным данным явка составляла 63,78 %, а число зарегистрированных избирателей превышало 108 миллионов, за счет завышения явки избирателей было сфальсифицировано, скорее всего, 14–20 млн. бюллетеней, но никак не меньше 9,5 млн.

Если итоги выборов корректируются, то кто-то страдает, а кто-то выигрывает. Совершенно очевидно, что основная часть дополнительных голосов, полученных в результате подтасовок, была приписана ЕР. Но была ли ЕР единственным «потребителем» фальсификаций? Отвечая на этот вопрос, нам все-таки придется воспользоваться некоторыми данными предыдущих выборов.

Официальные итоги парламентских выборов ясно показывают обратную зависимость между результатами ЕР и «Справедливой России» (СР) при отсутствии каких-либо зависимостей с результатами всех других партий. Ничего подобного ранее ни с одной парой партий на парламентских выборах не наблюдалось. Но на региональных выборах в марте 2007 г. наблюдалась еще более очевидная обратная зависимость результатов ЕР и СР.

Такое соотношение итоговых показателей естественными причинами объяснить невозможно, а могло явиться только в результате искусственного вмешательства в ходе голосования или подсчета голосов. Либо ЕР и СР пользовались общим «фондом поддержки», а дополнительные голоса из него распределялись между ЕР и СР в некоторой степени случайным образом, либо фактически полученные СР голоса передавались ЕР.

На региональных выборах итоги голосования корректировались не только в пользу ЕР, но и в пользу СР. Доказательств этому было очень много, приведем только одно. В четырех регионах относительный результат СР (в % от числа голосовавших) с точностью до 0,01 совпал с суммарным относительным результатом «Родины», Партии Жизни и Партии пенсионеров на парламентских выборах 2003 г. Вероятность такого случайного совпадения в условиях массовых фальсификаций явки избирателей ничтожно мала. Настолько мала, что ее не стоит и считать. Но, во всяком случае, эта вероятность меньше одной квадрильонной. Региональные выборы показали также отсутствие у СР надежной электоральной базы. «Оппозиционной» СР сочли только крайне наивные люди, не сумела СР сохранить и довольно благополучный электорат «Родины», а в качестве прорежимной она не выдерживает конкуренции с более сильной ЕР.

Трудно предположить, что за короткое время между региональными и парламентскими выборами популярность СР выросла настолько, что это позволило партии не только отказаться от посторонней помощи, но еще и помочь ЕР. Тем не менее, эту версию нельзя сразу отбрасывать — она нуждается в дополнительной проверке. Но, скорее всего, СР и на этот раз помогли, хотя бы для того, чтобы скомпенсировать потери от искусственного завышения явки избирателей.

Завышение явки избирателей — в определенной степени нововведение для парламентских выборов. Ранее этот метод фальсификаций в широких масштабах на парламентских выборах не использовался. Наряду с этим методом на выборах использовался и хорошо проверенный метод «жесткой коррекции» с передачей ЕР голосов, поданных за другие партии. Не будем приводить подробных доказательств использования этого метода на нынешних выборах. Укажем только на основные моменты.

Хорошим способом выявления «жесткой коррекции» является определение отклонений абсолютных результатов (в % от числа зарегистрированных избирателей) отдельных партий от известных взаимозависимостей. Учитывая, что искусственное завышение явки избирателей не сказывается на абсолютных результатах большинства участвующих в выборах партий, отклонения абсолютных результатов от естественных зависимостей с большой долей вероятности свидетельствуют об использовании «жесткой коррекции».

Указанный способ анализа итогов выборов очень удобен для применения в случаях, когда в результате подтасовок искажаются абсолютные результаты небольшого числа партий, а результаты остальных участвующих в выборах партий являются истинными. Если же наоборот, существуют сомнения в истинности результатов большинства партий, то для точного выяснения того, против какой именно партии и в каких масштабах использовалась «жесткая коррекция», требуется очень скрупулезный анализ.

Официальные итоги прошедших парламентских выборов показывают отклонения от естественных взаимозависимостей результатов всех хорошо известных партий. Для определения партий, чьи результаты были искусственно занижены, вместо трудоемкого анализа взаимозависимостей результатов воспользуемся дополнительными аргументами.

В некоторых регионах абсолютные результаты КПРФ на парламентских выборах оказались ниже, чем 9 месяцев назад на региональных. Региональные выборы отличаются от парламентских существенно меньшей активностью избирателей. Поэтому, если региональные и парламентские выборы разделяет не очень большой период времени, и ничего чрезвычайного в политической жизни в промежутке между этими выборами не происходит, то абсолютный результат партии на парламентских выборах должен оказаться выше, чем на региональных. А противоположный итог — несомненный признак фальсификаций.

Еще заметнее разница в абсолютных результатах на региональных и парламентских выборах 2007 г. у СПС. К тому же, по сравнению с парламентскими выборами 2003 г., на региональных выборах 2007 г. СПС явно улучшила свои абсолютные показатели.

«Яблоко» на всех выборах традиционно показывает близкие с СПС результаты. И на этих выборах по официальным данным СПС и «Яблоко» набрали примерно одинаковое число голосов. Но т. к. результаты СПС были искусственно занижены, естественно предположить, что в той же пропорции были занижены и результаты «Яблока».

Официальные результаты АП характеризуются ростом популярности партии по сравнению с 2003 г. в городских округах в сочетании с ее резким падением в зонах традиционной поддержки, что очень трудно объяснить естественными причинами.

Сравнение официальных результатов ЛДПР в 2003 и 2007 гг. показывает рост симпатий к ЛДПР в округах, где партия набрала сравнительно мало голосов, и снижение результатов в регионах традиционной поддержки. Такая динамика характерна для партий, у которых при подсчете отнимают голоса.

Весьма вероятно, что коррекции подвергались результаты и других партий, но для упрощения расчетов допустим, что этого не было.

Почему-то никого не удивило, что после отмены графы «против всех» процент недействительных бюллетеней не увеличился, а уменьшился. Согласно официальным данным, число недействительных бюллетеней составило 1,09 %, что в 1,5–2 раза меньше, чем на каких-либо парламентских выборах в РФ. А вот на региональных выборах процент недействительных бюллетеней по сравнению с предыдущими парламентскими резко возрос и в некоторых регионах даже по официальным данным превысил 5 % (эта величина была занижена вследствие искусственного завышения явки избирателей). Скорее всего, фактическое число недействительных бюллетеней на нынешних выборах оказалось настолько большим, что вынудило избиркомы всех уровней принять соответствующие меры. Ну, а вырученные голоса пошли в «фонд помощи» ЕР и СР.

Обобщая вышеизложенное и учитывая частоту отклонений результатов партий от естественного распределения, с доверительной вероятностью, большей 0,95, можно определить минимально возможную величину подтасовок на этих выборах (в % от числа зарегистрированных избирателей). За счет завышения явки избирателей — 8,8 %, заимствования голосов у других партий — 9,9 % (у КПРФ — 3,7; ЛДПР — 2,6; АП — 0,6; СПС — 1,6;» «Яблока» — 1,4), искусственного снижения числа недействительных бюллетеней — 2 %. Итого: 20,7 %. Учитывая, что по официальным данным ЕР и СР набрали совместно 46 % от числа зарегистрированных избирателей, фактический абсолютный результат ЕР+СР не мог превысить 25,3 %, а относительный — 46 % (по официальным данным — 72 %).

Как мы видим, разница между действительными и официальными данными очень существенная. Но наше уточнение касалось только предельно возможных результатов, определенных с очень высокой доверительной вероятностью, заведомо большей 0,95. С меньшей доверительной вероятностью, но заведомо большей 0,7 можно утверждать, что суммарный относительный результат ЕР и СР не превышал 25 %. А это означает, что при отсутствии фальсификаций СР, скорее всего, не преодолела бы 7-процентный барьер, ЕР не получила бы в Думе даже простого большинства, самой крупной фракцией в Думе обладала бы КПРФ, а т. к. ни одна из партий не имела бы большинства в Думе, то принятие всех решений, в конечном счете, зависело бы от того, к кому присоединится ЛДПР…

Президентские выборы прошли всего лишь через три месяца после парламентских. А это значит, что их действительные результаты можно было бы легко предсказать на основе итогов парламентских выборов. Поэтому их анализ очень полезен для оценки достоверности результатов следующих выборов. В свою очередь, анализ итогов президентских выборов позволяет получить дополнительную информацию для оценки достоверности результатов предыдущих выборов. Чтобы не утомлять читателя, отложим этот анализ «до лучших времен». Отметим только некоторые забавные моменты последних президентских выборов.

Как и три месяца назад, официальный сайт ЦИК фиксировал в большинстве регионов непонятные всплески активности избирателей в разные периоды голосования. Но, в отличие от прошлых выборов, в таблице появилась вполне логичная графа явки избирателей на 20 часов местного времени, т. е. окончательной явки. Начиная с 11 часов московского времени, стали закрываться избирательные участки в разных регионах страны, но графа окончательной явки оставалась незаполненной. И только после 20 часов в этой графе появилась первая запись: Ульяновская область — 58 %.Шло время, активность избирателей в Ульяновской области в ходе подсчета голосов медленно, но верно увеличивалась, а избиркомы других субъектов федерации категорически отказывались представлять в ЦИК данные об окончательной явке избирателей. В конце концов терпение ЦИК лопнуло, и злосчастная графа была удалена из отчетности. Тем не менее, несмотря на закрытие избирательных участков, явка избирателей непрерывно увеличивалась и к концу подсчета голосов достигла 69,71 % (кстати, в Ульяновской области за время подсчета голосов явка избирателей выросла до 62 %). Вместе с явкой в ходе подсчета голосов росла и поддержка Д. Медведева. Если на парламентских выборах в последний час голосования на избирательные участки пришло 4 % зарегистрированных избирателей, то на президентских выборах — в полтора раза больше. Это обстоятельство с очень большой вероятностью может свидетельствовать о том, что фальсификация явки избирателей на президентских выборах была выше, чем на парламентских.

О высоком уровне фальсификаций явки избирателей можно судить и по официальной динамике избирательской активности в течение всего дня голосования. Тем не менее, несмотря на это и на повышение официальной явки по сравнению с парламентскими выборами на 6 %, в 17 регионах явка избирателей на 19 часов местного времени оказалась ниже, чем на парламентских выборах. Объяснить это можно только снижением фактической общей по РФ явки избирателей. Среднее снижение явки в этих 17 регионах составило около 4 %. По всей вероятности, снижение явки на президентские выборы по сравнению с парламентскими было не меньше этой величины. Следовательно, наиболее вероятная величина фактической явки на президентские выборы 2008 г. находилась в диапазоне 41–47 %.

Это означает, что на президентских выборах масштабы «мягкой коррекции» увеличились. Если на парламентских выборах за счет завышения явки коалиция ЕР и СР получила 13–19 % от числа зарегистрированных избирателей, то на президентских выборах Медведев при помощи этого же метода получил дополнительно 23–29 %. При этом, однако, абсолютный официальный результат Медведева (49 %) оказался всего лишь на 3 % выше суммарного результата ЕР и СР. Такое могло произойти из-за снижения масштабов «жесткой коррекции».

Об уменьшении «жесткой коррекции» на президентских выборах свидетельствуют снижение числа отклонений абсолютных результатов Зюганова и Медведева от естественного распределения, а также резкий рост абсолютного результата Зюганова по сравнению с результатом КПРФ на парламентских выборах 2007 г. — с 7,4 % до 12,4 %. А вот результат Жириновского не очень сильно превысил результат ЛДПР, а отклонений ответственного распределения было так же много, как и три месяца назад. Все это указывает на то, что у Зюганова было заимствовано гораздо меньше голосов, чем у Жириновского. С доверительной вероятностью 0,7 можно полагать, что абсолютный результат Зюганова был занижен не менее, чем на четверть, т. е. на 3,1 % от числа зарегистрированных избирателей, а Жириновского — более чем в 2 раза, т. е. не меньше, чем на 6,5 %. Как и на предыдущих выборах на этих выборах по официальным данным было очень мало недействительных бюллетеней — всего лишь 1,36 %.

Суммируя вышесказанное, с доверительной вероятностью более 0,95 можно утверждать, что без коррекции итогов голосования Медведев не смог бы победить уже в первом туре. И с доверительной вероятностью 0,7 — сделать вывод, что Зюганов, Жириновский и Медведев набрали в первом туре примерно равное число голосов. А для того, чтобы выяснить, кто из этой троицы не прошел во второй тур, требуется очень тщательный дополнительный анализ. Вполне возможно, что нынешний формальный победитель президентских выборов в соответствии с истинными итогами голосования даже не попал бы во второй тур.

Как легко заметить, полученные выводы противоречат не только заявлениям официальных представителей власти, но и оценкам практически всех комментаторов выборов, как официозных, так и оппозиционных. Но не стоит спешить с обвинениями в оскорблении вновь избранной власти. Автор и не утверждает с абсолютной уверенностью, что официальные результаты выборов не соответствуют действительности, а всего лишь оценивает их достоверность. И, в соответствии с этой оценкой, существует довольно большая вероятность (чуть менее 0,05) того, что Медведев действительно, в соответствии с волей избирателей, победил уже в первом туре, а «Единая Россия» завоевала большинство мест в Госдуме. Более того, с доверительной вероятностью в одну септильонную (септильон в триллион раз больше триллиона) можно утверждать, что во всех субъектах федерации с точностью округления до трех значащих цифр официальные итоги голосования соответствовали действительности.

Разумеется, было бы наивным из-за наличия фальсификаций считать вновь «избранную» власть «нелегитимной». Выборы — всего лишь один из не самых важных механизмов достижения целей теми структурами, которым реально принадлежит власть в данном обществе. Как правило, итоги выборов совпадают с заранее намеченными результатами. Ну, а фальсификации — один из способов обеспечения заданного результата. Поэтому никаких претензий к власти быть не может. Нельзя же всерьез полагать, что кто-то может отказаться от имеющейся у него власти, если никто и ничто его к этому не принуждают.

А. КАМЕНЩИК