Обыкновенныя (простыя) дроби
Обыкновенныя (простыя) дроби
Необходимость дробей должна чувствоваться всякимъ челов?комъ, который желаетъ хоть немного выйти за пред?лы начальныхъ вычисленій. И въ практической жизни, и при первыхъ же шагахъ науки дроби совершенно необходимы, и безъ нихъ обойтись нельзя. Поэтому и въ самыхъ древнихъ и въ самыхъ короткихъ ари?метическихъ рукописяхъ встр?чаются непрем?нно зам?тки о доляхъ.
Прежде всего наталкиваетъ на необходимость дробей д?леніе съ остаткомъ. Интересны попытки, которыя д?лались старинными авторами для того, чтобы какъ-нибудь обойтись безъ дробей и провести все д?ло легко и спокойно, т. — е въ ц?лыхъ числахъ. Такъ, въ арабской рукописи 12-го в?ка по Р. X. р?шается вопросъ «разд?лить 100 фунтовъ между 11-ю челов?ками поровну»; какъ видно, зд?сь получается остатокъ—1 фунтъ, его предлагаютъ пром?нять на яйца, которыхъ по существующимъ ц?намъ придется 91 штука; тогда на каждаго челов?ка можно дать по 8 яицъ и еще 3 яйца въ остатк?: что д?лать съ ними? ихъ авторъ рекомендуетъ отдать тому, кто д?лилъ, за его труды или же пром?нять на соль къ яйцамъ. Еще проще поступаетъ представитель римской монастырской учености IX в?ка Одо Клюнійскій. Требуется ему разд?лить 1001 фунтъ на 100. Остатокъ 1 онъ дробитъ въ унціи, драхмы и т. д. до т?хъ поръ, пока только можно дробить. И такъ какъ въ конц? концовъ еще получается маленькій остатокъ, то его Одо предлагаетъ совс?мъ бросить и не брать въ счетъ. Но при этомъ в?дь происходитъ ошибка, хотя и небольшая, и автору ничего иного не остается, какъ извинить свою ошибку несовершенствомъ всего земного и вс?хъ людскихъ д?яній и для большей уб?дительности привести даже латинскіе стихи.
R?rum v?ro par?ns qui s?lus c?ncta tu?tur
C?m sit c?ncti pot?ns, perf?ctus solus hab?tur.
Отецъ вселенной, — который все содержитъ,
Одинъ влад?етъ вс?мъ, одинъ безъ недостатковъ.
Изъ нихъ авторитетно вытекаетъ, что только небесное свободно отъ ошибокъ и обладаетъ совершенствомъ.
Понятна та осторожность и та боязнь, съ которой въ старину относились къ дробямъ. Это былъ трудн?йшій и запутанн?йшій отд?лъ ари?метики. Не даромъ и сейчасъ у н?мцевъ сохранилась поговорка «попасть въ дроби» (in die Br?che gerathen), что совершенно равносильно нашему «стать въ тупикъ», т.-е. зайти въ такой проулокъ, выходъ изъ котораго застроенъ. Трудность увеличивалась и осложнялась, главнымъ образомъ, т?мъ, что не принято было давать никакихъ объясненій, и вся старательность ученика направлялась на заучиваніе правилъ, безъ всякаго пониманія того, откуда эти правила вытекаютъ. Кстати, и самая глава о дробяхъ была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебниковъ, потому что дроби то см?шивались съ именованными числами, то принималисъ состоящими изъ 2 чиселъ—числителя и знаменателя. Въ понятіяхъ о д?йствіяхъ надъ дробями была большая путаница, особенно, что касалось умноженія и д?ленія, да и сейчасъ въ наши дни этотъ туманъ не разс?ялся; напр., первые 2–3 года, пока ребенокъ учитъ ц?лыя числа, ему толкуютъ, что умножить значитъ увеличить въ н?сколько разъ, а потомъ, когда онъ переідетъ къ дробямъ, его начинаютъ уб?ждать, что умножить вовсе не значитъ увеличить. Между т?мъ, какъ легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на д?ло попроще и согласиться, что умножить въ ц?лыхъ числахъ значитъ взять слагаемымъ н?сколько разъ, а въ дробяхъ—взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки он? и теперь, а такъ какъ изученіе ихъ очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и въ проз?, и въ стихахъ ободрить своихъ учениковъ и цобудить ихъ пересилить трудности. Знаменитый римскій ораторъ Цицеронъ (въ 1 ст. до Р. X.) счелъ долгомъ сказать свое авторитетное слово по этому случаю: «sine fractionibus arithmetices peritus nemo esse potest»; это значитъ: «безъ знанія дробей никто не можетъ признаваться св?дущимъ въ ари?метик?». То же самое встр?чаемъ у нашего Магницкаго въ такихъ стихахъ:
Но н?сть той ари?метикъ,
Иже въ ц?лыхъ отв?тникъ,
А въ доляхъ сый ничтоже,
Отв?щати возможе.
Т?мже о ты рад?яй,
Буди въ частяхъ ум?яй.
Особенное уваженіе къ дробямъ свид?тельствуетъ авторъ одной славянской рукописи XVII в. Именно, разсуждая о тройномъ правил?, онъ говоритъ:
«Н?сть се дивно, что тройная статія въ ц?лыхъ, но есть похвально, что въ доляхъ».
Разсмотримъ теперь подробно, какъ развилось ученіе о дробяхъ у различныхъ народовъ.
Древніе египтяне задались въ этомъ отношеніи чрезвычайно оригинальной мыслью. Они пользовались только такими дробями, у которыхъ числитель непрем?нно единица; вс? остальныя дроби они считали неудобными для вычисленія и старались зам?нять ихъ этими основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц?, такъ что когда египтянину требовалось произвести какое-нибудь д?йствіе надъ дробями, то онъ сперва зам?нялъ данныя дроби основными, за-т?мъ д?лалъ вычисленіе и уже въ конц?-концовъ изъ ряда основныхъ дробей выводилъ одинъ общій отв?тъ. Вс? зам?ны, которыя требовалось при этомъ д?лать, совершались при помощи обширныхъ таблицъ, спеціально заготовленныхъ на этотъ случай. Вотъ какъ начинаются эти таблицы:
Зд?сь между долями подразум?вается, очевидно, сложеніе, такъ
Съ дробями, у которыхъ числитель больше двухъ, приходилось немало хлопотать, и составителямъ таблицъ досталось немало труда, напр., надъ разложеніемъ дроби 7/29. Ходъ вычисления такой:
При помощи такихъ таблицъ египтяне ум?ли обходиться безъ приведенія дробей къ одному знаменателю; для этого они переводили слагаемыя въ основныя дроби на основаніи таблицъ, соединяли вс? эти основныя дроби въ одну массу и потомъ смотр?ли, опять же руководствуясь таблицами, какой одной дроби равняется вся эта масса. Какъ составлялись подобныя таблицы? Точнаго отв?та дать сейчасъ нельзя, т?мъ бол?е, что они заимствованы изъ папируса Ринда, а этотъ папирусъ относится ко времени за 2000 л?тъ до Р. X. Можно догадываться, что едва ли вс? строки принадлежатъ одному составителю, в?рн?е всего отд?льные результаты тщательно собирались въ общій сводъ, такъ что на н?которые отв?ты приходилось наталкиваться случайно, при какихъ-нибудь другихъ вычисленіяхъ.
Такъ какъ египтяне пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц?, то они, обыкновенно, вовсе и не писали числителя, а только подразум?вали его, писали же одного знаменателя; но чтобы не см?шать дробь съ ц?лымъ числомъ, они надъ цифрами знаменателя ставили точку. Изъ производныхъ же дробей разсматривалась только 2/3 у которой былъ свой знакъ, такъ что эта дробь принималась за какую-то особенную величину, не стоящую въ прямой связи ни съ ц?лыми числами, ни съ дробями.
Арабы, очевидно, подъ вліяніемъ египтянъ, разд?ляли дроби на «выговариваемыя» и «невыговариваемыя». Такіе термины встр?чаются, напр., въ VIII—IX в. по Р. X. Выговариваемыми дробями были т?, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ род? нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс? остальныя, и, напрВыговариваемьши дробями были т?, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ род?нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс? остальныя, и, напр., 1/13 выражалась описательно такъ: одна изъ тринадцати долей; 1/30 такъ: шестая часть одной пятой.
Древніе греки часто вводили въ вычисленія дроби. Обозначали они ихъ такъ: сперва писали числителя и сверху справа ставили значекъ въ род? запятой, потомъ дважды повторяли знаменателя и приписывали каждый разъ значокъ въ вид? 2-хъ запятыхъ. Напр., 3/21= ??K??? K???, такъ какъ у грековъ ? обозначаетъ 3, а ? единицу, К двадцать. Однако чаще всего греки, по прим?ру египтянъ и арабовъ, пользовались основными долями и при этомъ обыкновенно пропускали числителя, а знаменателя писали съ присоединеніемъ 2 черточекъ, и выходило, напр., что 1/21=K???. Если н?сколько основныхъ дробей писалось подъ рядъ, то это значило, что ихъ надо сложить. Особенные знаки были для половины: ? (старинная греческая буква сигма) и для 2 третей: ?.
Индусы, въ лиц? одной изъ древн?йшихъ своихъ отраслей — доисторическаго племени Тамуловъ, выражали вс? доли при помощи только ?, ?, 1/16, 1/40, 1/80, 1/960. Для которыхъ у нихъ были особенныя названія и знаки. Вс? другія дроби они старались привести къ шести указаннымъ, и это имъ въ болыпинств? случаевъ удавлось порядочно, такъ какъ комбинаціи этихъ долей даютъ почти ц?лую единицу.
У индусскаго математика Брамагупты (въ XI в. по Р. X.) им?ется довольно развитая система простыхъ дробей. У него встр?чаются различныя дроби, и простыя и производныя, т.-е. съ числителемъ и 1, и любое число. Числитель и знаменатель пишутся такъ же, какъ у насъ, но только безъ горизонтальной черты, а просто ставатся одинъ подъ другимъ. Выше числителя пом?щается ц?лое число, если оно есть. И выходитъ по индусскому порядку {| | ||7 |- |5|| |- | |8 |}, а по нашему—57/8.
Представители поздн?йшей арабской учености (XI в.) копируютъ индусскій порядокъ. Если ц?лыхъ н?тъ, то они вверху пом?щаютъ нуль. Вотъ изображеніе восточно-арабскими цифрами;
отсюда видно, что нуль у восточныхъ арабовъ писался въ вид? точки. Итальяинецъ Леонардо Фибонначи, сл?дуя манер? восточныхъ народовъ (семитовъ) писать справа нал?во, пом?щаетъ, въ случа? см?шанныхъ чиселъ, справа ц?лое число, а л?в?е дробь, но читаетъ написанное общепринятымъ европейскимъ порядкомъ, т.е. сперва ц?лое число, а потомъ уже дроби.
Своеобразную систему дробей наблюдаемъ мы у римлянъ. Народъ серьезный, практичный, д?ловой, они предпочитали отвлеченному мышленію наглядность, и поэтому ничего н?тъ естественн?е въ ихъ положеніи, какъ зам?нить отвлеченныя доли подразд?леніями употребительныхъ м?ръ. Они остановили свое вниманіе на м?р? в?са— фунтъ (ассъ, въ настоящее время аптекарскій фунтъ). Ассъ д?лится на 12 частей—унцій. Изъ нихъ образуются вс? дроби со знаменателемъ 12, т.-е.
при этомъ каждая изъ такихъ дробей выражается особеннымъ знакомъ и особеннымъ словомъ; любую дробную величину можно было выражать посредствомъ унцій, напр., вм?сто того, чтобы сказать: «я прочиталъ 5/12 книги», говорили «я прочиталъ 5 унцій книги». Такимъ образомъ, фунтъ являлся и именованной единицей, и въ то же время отвлеченной, такъ какъ его долями выражались всевозможныя дроби.
Эта римская система дробей держалась въ школахъ Западной Европы вплоть до т?хъ поръ, когда принесенная чрезъ Испанію арабская — в?рн?е сказать, индуссая—ари?метика стала вступать въ свои права и получила силу и перев?съ. Это относится къ XV—XVI в?к. по Р. X. Въ эти в?ка ученіе о дробяхъ уже получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ теперь, и формируется приблизительно въ т? же самые отд?лы, которые встр?чаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающихъ учиться. О происхожденіи дробей тогда не говорили или же говорили очень мало и съ пропусками. Вм?сто того прямо начинали съ выговариванія дробей и съ ихъ письм. обозначенія. Вотъ цитата изъ Грамматеуса, н?мецкаго автора XVI в.:
«сл?дуетъ зам?тить, что всякая дробь им?етъ 2 цифры, вверху и внизу линіи. Верхняя цифра называется числителемъ, нижняя—знаменателемъ. Выговариваютъ дроби такъ: сперва называютъ верхнюю цифру, зат?мъ нижнюю, съ прибавленіемъ слова «части». Напр. 2/5 — дв? пятыхъ части».
Въ русскихъ матем. рукописяхъ XVII в. мы видимъ то же самое, что въ западно-европейскихъ XVI и даже XV стол?тія, потому что, чтобы знанію дойти до Россіи, требовалось стол?тіе или бол?е. «Статія численая о всякихъ доляхъ указъ» начинается прямо съ письм. обозначенія дробей и съ указанія числителя и знаменателя. При выговариваніи дробей интересны такія особенности: четвертая доля называлась четью, доли же со знаменателями отъ 5 до 11 выражались словами съ окончаніемъ «ина», такъ что 1/7, = седмина, 1/5 пятина, 1/10 = десятина; доли со знаменателями, большими 10, выговаривались съ помощью слова «жеребей», напр., 5/13—пять тринадцатыхъ жеребевъ. Нумерація дробей была прямо заимствована изъ западныхъ источниковъ, въ чемъ авторъ рукописи сейчасъ же сознается:
«буди ти в?домо, како ся пишутъ доли въ цифирномъ счет?, по н?мецкимъ землямъ, въ латин? и во французской земли.»
Числитель назывался верхнимъ числомъ, а знаменатель исподнимъ.
У Магницкаго (славянская ари?метика 1703 г.) можно найти яркій прим?ръ того, какъ смутно вырисовывалась глава о дробяхъ въ представленіи самихъ авторовъ учебниковъ. Первый разъ упоминаетъ о дробяхъ Магницкій совершенно неожиданно, когда у него идетъ д?леніе съ остаткомъ. На стр. 17 р?шается прим?ръ 130 : 3, и въ конц? р?шенія говорится такъ:
«И умствуй изъ 10 3-хъ: и придеть 3, еже напиши за чертою. А осталось изъ 10, 1, иже есть общій вс?мъ тремъ и пишется посл?ди сице: ?.»
Больше никакихъ разъясненій н?тъ совершенно. Сл?дующій прим?ръ д?ленія съ остаткомъ приведенъ на стр. 21, и тутъ уже прямо подписанъ отв?тъ 77446399 : 2864=27041 968/2864. Зат?мъ встр?чается еще немало прим?ровъ д?ленія съ остаткомъ, и во вс?хъ въ нихъ остатокъ подписывается именно такимъ образомъ, т.-е. въ вид? числителя дроби, у которой д?литель служитъ знаменателемъ. Трудно сказать, что хот?лъ изобразить этимъ Магницкій: хот?лъ ли онъ представить отв?тъ въ вид? ц?лаго числа съ дробью, или же это вовсе, по его мн?нію, не дробь, а только своебразное обозначеніе д?ленія съ остаткомъ. Если это дробь, то лучше было бы отложить ее до полнаго разсмотр?нія дробей, или, въ крайнемъ случа?, подробно ее объяснить; если же это не дробь, и если черта не отд?ляетъ числителя отъ знаменателя, то какая же сбивчивость и неясность возникнетъ для ученика, когда онъ начнетъ изучать дроби и увидитъ, что он? пишутся почему-то точно такъ же, какъ и остатокъ съ д?лителемъ при д?леніи съ остаткомъ. Почему все это такъ? Едва ли умъ ученика будетъ въ состояніи переварить этотъ вопросъ, и, в?роятно, придетсяему б?дному просто запомнить и затвердить, не мудрствуя сверхъ силъ.
На стр. 42 начинается у Магницкаго вторая часть ари?метики, въ которой говорится «о числахъ ломаныхъ или съ долями».
«Что есть число ломаное?» — «Число ломаное ничто же ино есть, токмо часть вещи, числомъ объявленная, сир?чь полтина есть, половина рубля, а пишется сице ? рубля, или четь ?, или пятая часть 1/5 или дв? пятыя части 2/5 и всякія вещи яковыя либо часть, объявлена числомъ, то есть ломаное число».
Зат?мъ идетъ «нумераціо», или «счисленіе въ доляхъ», т.-е. дается рядъ дробныхъ прим?ровъ и указывается, какъ ихъ выговаривать.
Полезно еще зд?сь объяснить, что значатъ старинныя русскія выраженія «полтретья», «полпята» и т. п, Полпята вовсе не значитъ половина пяти, но это будетъ 4? потому что, по нашему говоря, это половина пятаго. т.-е. 4 ц?лыхъ и отъ пятаго половина. Точно такъ же полтретья значитъ половина третьяго, т.-е. 2?. У насъ осталось и сейчасъ выраженіе полтора; оно произошло изъ полвтора, т.е. половина второго, сл?д., одинъ съ половиной, 1?. Теперь понятна задача изъ Магницкаго на стр РВI[8]: купилъ полторажды полтора аршина, далъ полтретьяжды полтретьи гривны, колико дати за полдевятажды полдевята аршина придетъ 20 рублевъ 2 алтына и 37/8 полуденьги.