Не так уж и проста эта покерная раздача
Не так уж и проста эта покерная раздача
Предположим, вы играете партию в безлимитный холдем со ставками 5 и 10 долл. в «Белладжио»[126]. Первые несколько игроков сбросили свои карты, а у вас на руках имеется вполне достойная комбинация – пара восьмерок (8? 8?). Поэтому вы повышаете ставку до 25 долл., и на нее отвечает всего один игрок, 60-летний мужчина, которого мы будем называть Юрист.
Это довольно приятный человек. В промежутках между партиями он охотно болтает, но после раздачи смолкает. О себе он рассказал, что работает партнером в юридической компании на Восточном побережье, занимающейся вопросами интеллектуальной собственности. Его вполне можно представить в рубашке-поло, периодически отправляющим своему другу сообщения о том, за сколько ударов им удалось пройти дистанцию в игре в гольф. Перед тем как переключиться на кофе во время игры, он выпил один бокал пива. Судя по всему, его совершенно не пугают ставки, по которым идет игра.
Когда Юрист только сел с нами за стол, у нас было два совершенно различных предположения о том, что он собой представляет. Первое состояло в том, что он будет немного выпендриваться во время игры, делая необоснованные шаги и блефуя, а второе – в том, что он будет использовать строгий «книжный» подход. Наши последующие наблюдения подтвердили правильность второй гипотезы. Юрист создавал впечатление довольно посредственного игрока, избегавшего катастрофических ошибок, но не проявляющего особого мастерства. Все всякого сомнения, он – не худший из игроков, однако вряд ли может стать победителем в долгосрочной перспективе. Тем не менее мы еще не играли против него достаточно долго и не уверены ни в одной из своих гипотез до конца.
Итак, что же мы знаем о картах Юриста в настоящий момент? Единственное, в чем не приходится сомневаться, так это в том, что у него нет комбинации с картами 8? или 8?, поскольку эти карты – наши. К сожалению, это снижает количество начальных комбинаций всего лишь с 1326 до 1225, причем каждая из них имеет одинаковые шансы быть у него на руках.
Тем временем мы получили от Юриста дополнительную информацию – он решил ответить на нашу ставку. Это значит, что его комбинация должна быть как минимум достойной – основная часть игроков, включая Юриста, сбрасывают карты в большинстве случаев, а не поднимают ставки перед флопом. И это значит также, что у него вряд ли очень сильная комбинация типа пары тузов, поскольку он просто ответил на нашу ставку, а не поднял ее еще выше, хотя нельзя исключать, что он хитрит[127].
Мы можем приступить к формированию вероятностной байесовской оценки карт, которые могут быть на руках у Юриста. Из прошлого опыта игры с похожими на него людьми мы знаем, что у него на руках вполне могут оказаться пары типа 9? 9?. Также комбинация может включать в себя туза, особенно если обе карты относятся к одной масти (например, A? 5?), что дает ему возможность собрать флэш. Также у него на руках могут быть так называемые одномастные коннекторы – карты типа 6? 5?, принадлежащие к одной масти, идущие по номиналу одна за другой и позволяющие собрать флэш или стрит. И, наконец, он мог ответить нам двумя старшими картами, например королем треф и бубновым валетом (K? J?).
Если бы у нас было достаточно времени, мы могли бы перечислить все комбинации, которые могут быть на руках у Юриста, и привели для каждой значение вероятности от 0 до 100 %, с учетом его действий к настоящему моменту (рис. 10.2). Именно так оценивал бы его игру компьютер, способный быстро обрабатывать вероятности.
Рис. 10.2. Вероятностное изображение возможного «диапазона рук»* у партнера по игре
* «Диапазон рук» соперника, или просто «диапазон соперника», – это определенная группа рук (карточных комбинаций), которые, по вашему мнению, могут находиться у вашего оппонента в конкретной игровой ситуации. Рука (Hand) – очень широкое понятие в покере, в том числе и комбинация карт игрока или стартовые карты. Это понятие включает в себя полный розыгрыш, начиная с принудительных ставок и раздачи карт, игры на префлопе (часть раздачи, проходящая до открытия карт флопа) до шоудауна (вскрытия карт).
Матрица, подобная приведенной на рис. 10.2, слишком сложна для применения в условиях реального мира. На практике игроки обычно разбивают диапазон возможных комбинаций карт на группы, в отношении которых оппонент будет предпринимать одинаковые действия (табл. 10.1). В данном случае самой опасной для нас на данный момент выступает группа комбинаций с парой, старшей нашей пары восьмерок.
Таблица 10.1. Возможные комбинации карт на руках оппонента до флопа
К счастью, вероятность подобного развития событий мала: игроку в холдем редко удается получить такую пару карт с самого начала. Шансы получить пару с самого начала партии составляют в холдеме примерно 3 %. Однако, учитывая, что Юрист ответил на нашу ставку, нам следует обновить просчитанное значение этой вероятности – чаще всего этот игрок сбрасывает слабые карты, а следовательно, сейчас у него на руках что-то есть. По нашим расчетам, шансы на то, что у него на руках есть пара старше наших восьмерок, с учетом его прежних действий уже выросли примерно до 6 %.
В оставшихся 94 % случаях Юрист начинает игру с комбинацией карт хуже нашей. Проблема состоит лишь в том, что на столе должно появиться еще пять карт, и хотя шансов на то, что они улучшат нашу пару, довольно мало (нам потребуется одна из двух оставшихся в колоде восьмерок), Юрист может довольно легко собрать более высокую пару, стрит или флэш.
Юрист отпивает немного кофе, пока дилер выкладывает карты флопа в центре стола. Это две трефы – король и тройка, – а также девятка червей.
K? 9? 3?
Эти карты не сделали нашу комбинацию лучше. Остается лишь надеяться, что они не улучшили и комбинацию, которая на руках у Юриста и наша пара восьмерок все равно останется самой сильной.
Поэтому мы делаем довольно скромную ставку, добавляя 35 долл. в банк, составляющий уже 65 долл. Юрист на мгновение делает паузу, а затем отвечает на нашу ставку.
Его поступок нас не удивляет, и мы приступаем к перерасчету вероятностей его комбинации. Согласно теореме Байеса, главное – размышлять в понятиях условных вероятностей. Например, если Юрист начал игру с комбинацией типа K? J?, а теперь у него появилась пара королей, насколько вероятно, что он вновь ответит на нашу ставку? (Разумеется, с сильной парой на руках он вполне может это сделать, но не лучше ли для него было бы поднять ставку выше?) А что, если он начал игру с меньшей парой, например 7? 7?, – насколько вероятно, что он ответит нам, а не сбросит карты? Если бы у нас было больше времени, мы могли бы изучить каждую из 1326 комбинаций и соответствующим образом пересмотреть свои расчеты (табл. 10.2).
Таблица 10.2. Возможные комбинации карт на руках оппонента на флопе
? Флэш-дро (Flush-draw) – четыре карты одной масти, то есть недостроенный флэш.
? Стрит-дро (Straight-draw) – четыре карты, соседствующие по рангу, то есть недостроенный стрит.
Наши реальные расчеты, которые мы делаем за столом, будут куда менее точными. Тем не менее мы можем с учетом действий Юриста дать определенные, причем довольно широкие, вероятностные характеристики диапазона возможных комбинаций у него на руках. Примерно в 30 % случаев комбинация карт Юриста собиралась с учетом флопа, и он имел пару королей или более сильную комбинацию. Это хорошие комбинации, и при отсутствии сильного внешнего давления он не стал бы их сбрасывать. Имеется также 20 %-ная вероятность, что у него на руках пара хуже, чем короли, но лучше, чем наши восьмерки. Эти комбинации переигрывают нашу, однако, если мы продолжим агрессивно повышать ставки, Юрист, скорее всего, их сбросит.
Имеется также 25 %-ная вероятность, что Юрист имеет шансы собрать стрит или флэш. На данный момент его карты значительно слабее наших, однако у него есть возможность улучшить ситуацию.
И, наконец, вероятность, что у Юриста есть пара меньше нашей или нет вообще ничего, составляет 25 %, и он продолжает делать ставки в надежде на будущий блеф. Этот вариант для нас самый предпочтительный.
Вы можете сами увидеть, насколько сложно порой принимать решения в покере. Если верны одни варианты, мы должны делать максимально агрессивные ставки. Если другие, мы должны ограничиться более осторожным подходом, а если третьи, мы должны готовиться к тому, чтобы сбросить карты.
Пока мы размышляем, принимая это отнюдь не простое решение, дилер кладет на стол идеальную для нас карту, чем ощутимо заметно улучшает нашу жизнь. Это одна из двух восьмерок, остававшихся в колоде, 8?, и в результате у нас возникает набор из трех одинаковых карт. Единственная комбинация, при которой мы можем проиграть, возникнет, если Юрист начал игру с парой девяток или королей, получил набор из трех одинаковых карт на флопе, а затем начал играть пассивно, чтобы заманить нас в ловушку (для этого у игроков в покер есть специальный термин «слоуплей»). Но нам не стоит чрезмерно осторожничать. Какова бы ни была комбинация у Юриста, наши шансы на победу составляют примерно 98 %. Поэтому мы делаем сравнительно крупную ставку – 100 долл. при банке в 135 долл.
Юрист еще раз отвечает на нашу ставку. Если бы у него была слабая пара или несформированная комбинация, он, скорее всего, сбросил бы карты. Соответственно, у нас появляется возможность еще сильнее сузить наше представление об имеющихся у него на руках картах.
В сущности, на данном этапе у него может остаться всего 75 комбинаций из 1326. У Юриста могла бы быть пара королей, которая заставила бы нас понервничать чуть раньше, но которую мы можем побить сейчас. И если что и может нас волновать, так это, скорее, еще одна трефа, появление которой на столе могло бы обеспечить Юристу флэш (табл. 10.3).
Вместо этого последней картой оказывается довольно безвредная пятерка пик, не позволяющая завершить флэш: K? 9? 3? 8? 5?.
Таблица 10.3. Возможные комбинации карт на руках оппонента на терне
Мы добавляем 250 долл. к банку, составляющему 335 долл., надеясь, что Юрист ответит нам, имея на руках более слабую комбинацию. Однако он внезапно возвращается к жизни. «Олл-ин!» (ставка на все деньги), – очень тихо говорит он дилеру, а затем двигает в центр стола все оставшиеся у него фишки – на сумму около 1200 долл.
Что произошло только что? Теперь мы должны протестировать свои навыки байесовского мышления. Если наш прогноз о том, какие карты у него на руках, неверен, то мы легко можем совершить ошибку ценой в 1200 долл.
Мы смотрим на стол и понимаем, что единственной рукой из 1326 случайных комбинаций, которая кажется наиболее соответствующей его игре, является комбинация 7 и 6 треф (7? 6?). Это одномастный коннектор, поэтому он мог бы продолжить с ним игру перед флопом. На флопе эта рука обеспечивала ему флэш-дро с четырьмя трефами, и мы поставили слишком малую сумму для того, чтобы он отступил.
Хотя он и упустил флэш, но тем не менее стал сильнее: та же 8?, которая превратила нашу комбинацию в «тройку», дала Юристу возможность создать стрит с любой десяткой или пятеркой. Если бы это было действительно так, то 5? на ривере завершала создание комбинации, способной победить нашу «тройку». И если это именно так, то становилось понятным его упрямое желание повышать ставки.
Стоит ли нам сдаться? Даже если вы никогда не играли в покер, имеет смысл на мгновение остановиться и подумать о том, что делать.
Ответ состоит в том, что вам, вполне возможно, не стоит сдаваться. На самом деле, при игре против множества игроков вам должно быть приятно, что в банк попадает все больше денег.
Решить задачу можно благодаря теореме Байеса. Справедливо, что «олл-ин» представляет собой невероятно сильный ход – он содержит значительно больше информации, чем действия Юриста до этого. Однако перед тем, как Юрист пошел «олл-ин», мы считали, что вероятность того, что на руках у него находятся именно 7 и 6 треф, крайне мала, возможно, всего 1 %, то есть одна возможная комбинация из миллиардов. И если мы не до конца уверены в том, что 7? 6? – это единственная рука, с которой он может играть, отказ от игры был бы большой ошибкой. Для того чтобы «колл[128]» был математически правильным, наша рука должна быть хорошей примерно в 35 % случаев.
На самом деле у Юриста могли бы быть и другие возможности. Так, у него на руках может быть комбинация троек или даже пятерок, которая все равно проиграет нашей паре восьмерок. Он мог бы получить две пары с рукой типа K? 5?. Некоторые игроки разыгрывают таким образом пару тузов. В байесовской модели диапазона наших рук Юрист может вполне разумно предположить, что его рука лучше нашей. Достаточно хорошая, чтобы идти «олл-ин», и понятно, что он хочет забрать после розыгрыша руки как можно больше денег.
Обыграть нас могла бы и другая пара рук, помимо стрита. Если Юрист все это время медленно разыгрывал пару девяток или пару королей, то теперь он точно получит наши деньги. С другой стороны, это уравновешивается вероятностью полного блефа. Если Юрист не смог реализовать флэш-дро, то блеф – это единственный на данный момент способ выиграть банк.
Как однажды сказал Артур Конан Дойл, «если вы исключите невозможное, то, что останется, и будет правдой, сколь бы невероятной она ни казалась». Это звучит вполне логично, однако нам крайне сложно отличать невозможное от крайне маловероятного, и порой, когда мы стремимся это сделать, могут возникнуть немалые проблемы.
На этом этапе игры все руки соперников выглядят в той или иной степени маловероятными – эта раздача была достаточно необычной. Нам приходится оценивать, насколько одно невероятное событие более невероятно, чем другое, столь же невероятное, и все указывает на то, что у Юриста нет на руках комбинации 7? 6?. Если бы у нас была возможность рассчитать все возможности с помощью компьютера, то значение вероятности того, что мы имеем более сильную руку, все равно составит около двух третей (табл. 10.4).
Таблица 10.4. Возможные комбинации карт на руках оппонента на ривере{660}
На практике умение оценивать вероятности для своих рук у игроков в покер различается. Опытные игроки лучше, чем 99,9 % всего населения, умеют делать сравнительно хорошие вероятностные суждения в условиях неопределенности.
Честно говоря, я не знаю никакой другой игры или интеллектуального упражнения, которое так хорошо способствовало бы развитию этих навыков. Однако, когда я опубликовал информацию об этой раздаче на Two Plus (онлайновом форуме для профессиональных игроков в покер), оценка ранжировалась от почти полной уверенности в том, что у нас имеется лучшая рука, до мнения о том, что мы почти гарантированно проиграем{661}.
Мне же представляется, что оба этих вида оценки основаны на слишком высокой степени уверенности в себе. Конечно, мы не должны вести себя так, как будто ничего не знаем о руке оппонента, но в целом наши ошибки предсказания связаны с тем, что мы считаем, что в мире гораздо больше определенности, чем на самом деле. В этом случае попытка приписать оппоненту точную руку будет означать, что нам следует сдаться, однако более полная оценка вероятностей – вкупе с немалым размером банка – дает основание предполагать, что нам нужно ответить на ставку.
Данный текст является ознакомительным фрагментом.